大学の積分のことについてなのですが 積分が可能かどうかを調べる際に 優収束定理（比較判定法）を用いる

大学の積分のことについてなのですが
積分が可能かどうかを調べる際に
優収束定理（比較判定法）を用いると学びました。
その中で
lim(x→a)f(x)/g(x)が存在する、極限値を持つとき、
g(x)が積分可能ならf(x)も積分可能である。さらに極限値≠0であればg(x)の積分可能性とf(x)の積分可能性は一致する。

とありましたが、この時のg(x)をどの関数と置けば良いのかがわかりません。

例えばf(x)＝√x/sinxならg(x)=1/√xと置くのが良い。
でした。
問題は∮(0→π/2)f(x)dxの広義積分が収束するか調べよ。です。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2020/07/31 11:45

優収束定理（比較判定法）は同じ意味だろうね。

ぼくが指摘しときたいのは

lim(x→a)f(x)/g(x)が存在する、極限値を持つとき、
g(x)が積分可能ならf(x)も積分可能である。さらに極限値≠0であれば
g(x)の積分可能性とf(x)の積分可能性は一致する。

という命題が
優収束定理（比較判定法）によって証明されるという
関係にあることを教科書で再確認してほしいということです。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2020/07/27 15:05

たしかにf(x)＝√x/sinxならg(x)=1/√xとおいて

ｘ→＋0のときf(x)/g(x)＝x/sinx→1≠0で
g(x)=1/√xは0からπ/2で広義積分として収束するから
∮(0→π/2)f(x)dxも広義積分として収束する。

なにをg(x)とおいたらといかは慣れるしかないと思うよ。
あと、その定理が比較判定法を用いてどう証明されてるか
みなおすのもよい。

この回答へのお礼

優収束定理と比較判定法は違うんですか？？

お礼日時：2020/07/31 06:53