No.2ベストアンサー
- 回答日時:
敢えて三角関数を持ち出さなくても。
x¹⁰⁶+x⁵⁴+x+1をx²+x+1で割った商をQ(x)、余りをax+bとすると、
x¹⁰⁶+x⁵⁴+x+1=(x²+x+1)Q(x)+ax+b ※
ここで、x²+x+1=0の解の1つをω(複素数)とすると、ω²+ω+1=0である。
両辺にω-1を掛けると、左辺は、(ω-1)(ω²+ω+1)=ω³-1となるから、ω³-1=0となり、ω³=1ということが判る。
すると、
ω¹⁰⁶=(ω³)³⁵・ω¹=1³⁵・ω=ω
ω⁵⁴=(ω³)¹⁸=1¹⁸=1
である。
さて、※において、xにωを代入すると、
左辺=ω¹⁰⁶+ω⁵⁴+ω+1=ω+1+ω+1=2ω+2
右辺=(ω²+ω+1)Q(ω)+aω+b=0・Q(x)+aω+b=aω+b
となるから、2ω+2=aω+bである。
ここで、a,bは実数であり、ωは複素数であるから、a=b=2
以上により、余りは、2x+2
No.1
- 回答日時:
剰余の定理を利用します。
整式x^106+x^54+x+1を整式x^2+x+1で割ったときの商をQ(x)、余りを ax+b とします。
x^106+x^54+x+1=(x^2+x+1)Q(x)+ax+b……☆
x^2+x+1=0 とおくと、
x=(-1±√3 i)/2
=cos (±2π/3) + i sin (±2π/3)
x^106={cos (±2π/3) + i sin (±2π/3)}^106
=cos (±212π/3) + i sin (±212π/3)
=cos (±2π/3)+ i sin (±2π/3)
=(-1±√3 i)/2
x^54={cos (±2π/3) + i sin (±2π/3)}^54
=cos (±108π/3) + i sin (±108π/3)
=cos 0π + i sin 0π
=1
☆に、x=(-1±√3 i)/2 を代入すると、
(-1±√3 i)/2 + 1 + (-1±√3 i)/2 + 1= a(-1±√3 i)/2 + b
1 ±√3 i = (- a/2 + b) ± (a/2)√3 i
これより、
1= - a/2 + b
1= a/2
よって、
a=2
b=2
したがって、余りは、2x+2 です。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 (1) 方程式 65x+31y=1の整数解をすべて求めよ。 (2) 65x+31y=2016 を満た 1 2022/06/29 11:02
- 数学 数II 剰余の定理と因数定理 整式P(x)をxで割った余りが-4,x-2で割った余りが7である。 P 2 2022/07/03 13:38
- 数学 素朴な疑問なのですが、 写真のように、長さ10の線分がAP:PB=4:1に内分されているとき、AP( 5 2022/10/10 21:03
- 数学 この解法があっているか分からないので教えてください 4 2022/07/12 14:59
- 数学 2次以上の多項式g(x)であって, 任意の無理数に対して無理数の値を取るものは存在しないことを示せ. 8 2022/06/27 11:28
- 数学 整数問題4 16 2023/04/02 13:54
- 数学 x>=0, y>=0のとき、√x+√y=1の曲線の長さを求める。 y=(1-√x)^2と変形すると、 1 2022/12/31 11:20
- 数学 整数問題5 続き 6 2023/04/06 11:37
- 数学 整数問題 17 東大( 文系) 1 2023/05/25 06:33
- 数学 写真の問題で剰余の定理を用いて、別解の手順から a=2 b=8と求まるところまではわかるのですが、な 2 2022/08/07 13:12
関連するカテゴリからQ&Aを探す
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
「強度」は高い?強い?
-
yの二乗をXで微分したら2y・y' ...
-
「強度が弱い」という文はおか...
-
合成関数の微分を使う時と、使...
-
振幅比の計算
-
y=logX+1 の微分教えください ...
-
sin^2xとsinx^2は同じと聞きま...
-
微分可能ならば連続ですが、 不...
-
座屈とたわみの違いを簡潔に教...
-
吊り金具がどれくらいもつか計...
-
sin4乗3Xの微分って 12cos3乗3X...
-
y=tan^2 x ってどうやって微分...
-
構造力学 梁のエラスティカの問題
-
縞鋼板の曲げ応力度・たわみに...
-
積分定数Cとは一体なんですか?
-
tsinωtを部分積分法を用いてラ...
-
数Iの問題です cosθ=5分の3の...
-
平歯車の計算について難しいの...
-
角パイプのサイズ毎の耐荷重力...
-
y=(1+cosx)sinx を微分するとど...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
「強度」は高い?強い?
-
「強度が弱い」という文はおか...
-
縞鋼板の曲げ応力度・たわみに...
-
合成関数の微分を使う時と、使...
-
yの二乗をXで微分したら2y・y' ...
-
数Iの問題です cosθ=5分の3の...
-
積分定数Cとは一体なんですか?
-
ヤング率と引張強度について す...
-
テーブル構造を支える脚の材料...
-
微分可能ならば連続ですが、 不...
-
吊り金具がどれくらいもつか計...
-
sin75°×sin15°の値を教えてくだ...
-
ナマカライチュンドー⊂('ω'⊂ )))Σ≡とはな...
-
インボリュートセレーションとは?
-
円錐ホッパーの下出口にかかる...
-
角パイプのサイズ毎の耐荷重力...
-
双曲線関数は、実生活上どのよ...
-
コンクリートの圧縮強度試験
-
sin^2xとsinx^2は同じと聞きま...
-
引張強度及び許容引張応力と安...
おすすめ情報