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至急お願い致します。
大学数学、代数基礎の問題です。

pを素数、1<k<p-1とする。組み合わせの数_pC_kがpで割り切れることを証明せよ。

教えて頂けると嬉しいです。

A 回答 (2件)

直感的には...



自然数 n の素因数は、n 以下である。
pCk = p!/{ k! (p-k)! } の分母の各因子は
1 < k < p-1 であれば p より小さいから、
どれも素因数 p を持たない。
よって p!/{ k! (p-k)! } を約分したとき、
分子の p は消去されない。

pCk が整数であることは、
パスカルの三角形から帰納法で示せる。
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pCk が整数であることを証明すれば、


=P!/k!(p-k)!
=p(p-1)(p-2)・・・(p-k+1)/k!
となる
pは素数の時、pm/nが整数なら、m/n は整数となり、pCkはpの倍数になる
ってことになりそうだけど、、、どう書くかな?
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