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成功確率 p が既知のベルヌーイ試行の結果、
x 回の成功が観測されているとします。
このとき、全体の試行回数 N の分布は
どのように推定すれば良いのでしょうか?
最後の試行が x 回目の成功という条件が
ある場合は、p(N|x, p) は負の二項分布に
従うのでしょうが、
知りたいのは、そうした条件が無い場合です。
p(N|x, p)∝p^x*(1-p)^(N-x) 
なのでしょうが、正規化係数が分りません。
右辺をNを0から無限大まで和をとった場合、
簡単な式になるのでしょうか?
よろしくご教示ください。

A 回答 (1件)

> p(N|x, p)∝p^x*(1-p)^(N-x) 


> Nを0から無限大まで和をとった場合、 簡単な式になるのでしょうか?

p と x は固定ですよね.
(1)  p^x*(1-p)^(N-x)
で,N<x では意味がないですから,N の和は N = x から N = ∞まで.
あれ?,無限等比級数の和ですよね.
N - x = M とおいて
(2)  Σ_{N=x}^∞ p^x*(1-p)^(N-x)
    = Σ_{M=0}^∞ p^x*(1-p)^M
    = p^x / [1-(1-p)]
    = p^(x-1)
2行目から3行目へ移るところで,無限等比級数の和の公式を使っています.

やけに簡単ですが,私なにか誤解していますかね?
ちょっと心配になってきました.
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この回答へのお礼

(^_^;)
ご指摘の通りですね。
お恥ずかしいです。
なんか、いつの間にか
こんな簡単な計算を頭から回避するようになっていました。
ということで、
成功確率 p 成功回数 x のベルヌーイ試行の
試行回数の分布 p(N|p,x) は、
p(N|p,x)
= p^(1-x)* p^x * (1-p)^(N-x)
= p * (1-p)^(N-x)
でした。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/08/13 17:32

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