成功確率 p が既知のベルヌーイ試行の結果、
x 回の成功が観測されているとします。
このとき、全体の試行回数 N の分布は
どのように推定すれば良いのでしょうか?
最後の試行が x 回目の成功という条件が
ある場合は、p(N|x, p) は負の二項分布に
従うのでしょうが、
知りたいのは、そうした条件が無い場合です。
p(N|x, p)∝p^x*(1-p)^(N-x) 
なのでしょうが、正規化係数が分りません。
右辺をNを0から無限大まで和をとった場合、
簡単な式になるのでしょうか?
よろしくご教示ください。

A 回答 (1件)

> p(N|x, p)∝p^x*(1-p)^(N-x) 


> Nを0から無限大まで和をとった場合、 簡単な式になるのでしょうか?

p と x は固定ですよね.
(1)  p^x*(1-p)^(N-x)
で,N<x では意味がないですから,N の和は N = x から N = ∞まで.
あれ?,無限等比級数の和ですよね.
N - x = M とおいて
(2)  Σ_{N=x}^∞ p^x*(1-p)^(N-x)
    = Σ_{M=0}^∞ p^x*(1-p)^M
    = p^x / [1-(1-p)]
    = p^(x-1)
2行目から3行目へ移るところで,無限等比級数の和の公式を使っています.

やけに簡単ですが,私なにか誤解していますかね?
ちょっと心配になってきました.
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この回答へのお礼

(^_^;)
ご指摘の通りですね。
お恥ずかしいです。
なんか、いつの間にか
こんな簡単な計算を頭から回避するようになっていました。
ということで、
成功確率 p 成功回数 x のベルヌーイ試行の
試行回数の分布 p(N|p,x) は、
p(N|p,x)
= p^(1-x)* p^x * (1-p)^(N-x)
= p * (1-p)^(N-x)
でした。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/08/13 17:32

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Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

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(x^0)' = 0x^{-1} = 0
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(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

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Q(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](xi),(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]||^2ならばXは完

お世話になっています。

[Q]X={x1,x2,…,xn}を内積空間Vの正規直交集合とせよ。この時,次の(i),(ii)を示せ。
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(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完全

完全の定義は「正規直交集合Xが完全とはVの中での最大個数の正規直交集合の時,Xを
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つまり,#X=max{#S∈N;(V⊃)Sが正規直交集合}を意味します。

証明で行き詰まっています。

(i)については
x∈Vを採ると,spanX=Vよりx=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
これからΣ[i=1..n](<x,xi>xi)にどうやって持ってけばいいのでしょうか?

あと,(ii)についてはさっぱりわかりません。
何か助け舟をお願い致します。

Aベストアンサー

>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
<xi,x>を計算すれば終わり

>(ii)についてはさっぱりわかりません
「任意の」x∈Vに対して
∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2
ならばXは完全

x1,...,xnとは異なるyをとり,
x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する.
||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば
矛盾がでてくる.

Q「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

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ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0が成立するように定数a,b,cの値を定めよ。

[1の解]
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p=10-kの時(k=10-pの時)
p+1=10-kの時(k=9-pの時)より
a:b=pC(10-p) 5^p 3^(10-p):(1+p)C(9-p) 5^(1+p) 3^(9-p)
で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
やり方が違うのでしょうか?

[2の解]
与式をx+yという対称式で表せばならないと思います(多分)。
どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

Aベストアンサー

 (1)Cをばらして比を簡略化するところで計算間違いがありそうな気がします。その経過をもう少し詳しく書いてもらえませんか?
 (2)a,b,cを求めるにはまず、x+y=1 を満たすすべての(x,y)で成り立つのですから、x+y=1を満たす(x,y)をまず代入してみてはどうでしょうか。候補としては、(1,0)(0,1)(2,-1)など。
 それから計算されたa,b,c でx+y=1を満たすすべてのx,yで成り立つかどうかを確認するという手順でどうでしょうか?

Q|a(n+1)|≦r|an|⇒|an|≦r^(n-1)|a1|

|a(n+1)|≦r|an|⇒|an|≦r^(n-1)|a1|

これはどういう変形を行っているのでしょうか?
nで割っている?教えてください。

Aベストアンサー

任意の n ≧ 1 で |a(n+1)| ≦ r |an| ( r>0 )が成り立つと言っているわけですから、
n≧2で |a(n)| ≦ r |a(n-1)|
さらに、n>2 のとき |a(n-1)| ≦ r |a(n-2)| も成り立つのだから、
|a(n)| ≦ r |a(n-1)| ≦ r (r |a(n-2)|) = r^2 |a(n-2)|

これを次々と繰り返せば
|a(n)| ≦ r |a(n-1) ≦ r^2 |a(n-2)| ≦・・・ ≦ r^i |a(n-i)| ≦ r^(i+1) |a(n-i-1)| ≦ ・・・
≦ r^(n-2) |a(2)| ≦ r^(n-1) |a(1)|

∴ n≧2 において、|a(n)| ≦ r^(n-1) |a(1)|


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