部分環というか、同型ではないでしょうか？

部分環というか、同型ではないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• εは変数です。

    補足日時：2020/08/03 19:37

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/08/04 05:32

訂正です

f:A→B
が同型だと仮定すると
g=f^(-1):B→A
が存在して
0≠ε∈B=(k[ε]/(ε^2))[x]
εは零因子だから
ε^2=0
g(ε^2)=g(ε)^2=0
g(ε)も零因子となって
A=k[x]が整域である事に矛盾するから
AとBは同型ではありません

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2020/08/08 23:22

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/08/04 05:29

f:A→B

が同型だと仮定すると
g=f^(-1):B→A
が存在して
0≠ε∈B=k[ε]/(ε^2)
εは零因子だから
ε^2=0
g(ε^2)=g(ε)^2=0
g(ε)も零因子となって
A=k[x]が整域である事に矛盾するから
AとBは同型ではありません

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/08/02 20:30

Aのn変数多項式の係数は体 k だけれども

Bのn変数多項式の係数は
環k[ε]/(ε^2)
だから同型ではありません

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/02 12:31

記号の説明が不足していて、何言ってるのか判らないな。

k は体、k[x] は k 上の多項式環だとして、
ε は何なの？