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任意のスカラー場φ(x,y,z)とψ(x,y,z)について、次式を証明せよ。

div(φgradψ) = (∇φ)・(∇ψ)+φ(∇^2)ψ

この問題の解答を教えてもらいたいです。

A 回答 (2件)

普通に、積の微分公式で


div(φgradψ) = grad φ・(grad ψ) + φ grad grad ψ
      = (∇φ)・(∇ψ)+φ(∇^2)ψ.
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定義通りにやればよいだけでしょう?



grad(ψ) = (∂ψ/∂x)i + (∂ψ/∂y)j + (∂ψ/∂z)k

φ はスカラーなので
φgrad(ψ) = φ(∂ψ/∂x)i + φ(∂ψ/∂y)j + φ(∂ψ/∂z)k

よって
div[φgrad(ψ)] = ∂[φ(∂ψ/∂x)]/∂x + ∂[φ(∂ψ/∂y)]/∂y + ∂[φ(∂ψ/∂z)]/∂z
       = (∂φ/∂x)(∂ψ/∂x) + φ(∂²ψ/∂x²) + (∂φ/∂y)(∂ψ/∂y) + φ(∂²ψ/∂y²) + (∂φ/∂z)(∂ψ/∂z) + φ(∂²ψ/∂z²)
       = (∂φ/∂x)(∂ψ/∂x) + (∂φ/∂y)(∂ψ/∂y)) + (∂φ/∂z)(∂ψ/∂z) + φ[∂²ψ/∂x² + ∂²ψ/∂y² + ∂²ψ/∂z²]
       = (∇φ)・(∇ψ) + φ∇²ψ

どこが疑問ですか?
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