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∫ 【0→1】x^2 log|x|dx=[x³/3・logx][0→1] -∫[0→1]x²/3dx
=[-x³/9][0→1]
=-1/9 となるのですが

[-x³/9][0→1]はどうやって導くのですか

A 回答 (3件)

何が判らないのか判らないが、こういうこと。



第1項 [x³/3・logx][0→1] に関しては、広義積分の定義どおり、lim[x→0+0]x³log(x)を求めれば、0になる。

第2項 ∫[0→1]x²/3dxに関しては、高校レベルの超初歩的な積分だから、できない方がおかしい。まさか、x²の積分が(1/3)x³になるのが判らないなんてことはないよね?
もし判らないのなら、広義積分なんてやっているヒマはない。ただちに広義積分の勉強はやめて、高校の数Ⅱを復習すべき。
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部分積分法。


右辺第一項の[x³/3・logx][0→1]は0に等しい。
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定義に従って計算すれば導けると思います


でもいちいちそんなことをする人は少ないでしょうね
x³の微分は3x²ですから
積分は微分の逆操作と考えれば
∫3x²dx=x³(積分定数省略)です
ということは
x²の積分は両辺
(1/3)倍で
∫x²dx=(1/3)∫3x²dx=x³/3ですよね
ということはさらに1/3倍で
x²/3の積分は
∫x²/3dx=(1/3)∫x²dx=(1/3)・x³/3=x³/9

これが理解できたら次からは(1/3)∫x²dxの積分ととらえて 
微分⇔積分 の関係から
∫x²dx=x³/3であることに気が付けるようにして これを利用して∫[0→1]x²/3dxの積分計算です
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