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A=(a1 a2 a3 ...an) B=(b1 b2 b3..bn)とする。
k=1,2,...,nについてbk=a1+a2+..,..+akとかけるとき、
rankA=rankBが成り立つことを証明する問題が分かりません。

質問者からの補足コメント

  • A Bは列ベクトル分割です
    すみません!

      補足日時:2020/08/04 20:21

A 回答 (2件)

ベクトルですか。



行列の rank は、一次独立な行の最大数でもありますね。
行列 A の左側を切り出した
(a1), (a1 a2), (a1 a2 a3), ..., (a1 a2 a3 ... an) という
n 個の行列の rank は左から右へ広義増大列になっており、
その最大値が A の rank です。
共通の列数 m に対して (a1 a2 ... am) と (b1 b2 ... bm) の
rank が等しいことは、bk = a1+a2+...+ak を使って
一次独立の定義から計算で示すことができます。
よって、A での最大値と B での最大値が等しいことも判ります。
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A も B も 1 行 n 列なので、


全ての成分が 0 ならば rank は 0,
0 でない成分がひとつでもあれば rank は 1.
bk = a1+a2+...+ak により、
aj (j=1,2,3,...,n) が全て 0 ならば bj も全て 0 であり、
aj の中に 0 でないものがひとつでもあれば、 bj にも 0 でないものがある。
よって rank は一致する。
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この回答へのお礼

記入漏れがありました!
A Bは列ベクトル分割です!
何度もすみません!あと以前の回答ありがとうございました。とても分かりやすかったです!

お礼日時:2020/08/04 20:22

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