すみません。
ちょっと前(質問番号 118005)に
ベルヌーイ試行の試行回数について
質問しましたが、一部間違っていました。
問題は、成功確率 p が既知のベルヌーイ試行において、
成功回数 x が観測されたとき、全体の試行回数 N の
分布 p(N|x,p) は、どうなるか?
ということだったのですが、
中で私は、
p(N|x,p) ∝ p^x * (1-p)^(N-x)
としましたが、
p(N|x, p) ∝ C(N, x) * p^x * (1-p)^(N-x)
ただし、C(N, x)は、N個の中からx個を選ぶ
組み合わせの数
でした。

この下で、各Nに対する値の和を1にするための
正規化係数は、簡単に書けるのか?ということを
知りたいです。

118005に対して、回答を下さった siegmund さん、
大変失礼しました。

ということで、再度皆様にご教示を仰ぎたいと思います。
よろしくお願いします。

m(_ _)m

前回URL:http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?qid=118005

A 回答 (1件)

siegmund です.



いやあ,もっとよく見ないといけませんでしたね.
ちゃんと見れば,C(N,x) が抜けているくらい気づいたのですが.

さて,x は非負整数なので,x の代わりに m,
また,1-p = t と書くことにします.
N≧m でないと意味がないので
(1)  Σ_{N=m}^∞ C(N,m) p^m (1-p)^(N-m)
    = p^m Σ_{n=0}^∞ C(n+m,m) t^n   (N = n + m とおいた)
    = p^m Σ_{n=0}^∞ [(m+n)! / m! n!] t^n

この和は二項定理の形になっています.
つまり
(2)  1/(1-t)^s
    = 1 + st + [s(s+1)/2!]t^2 + [s(s+1)(s+2)/3!]t^3 + ...
    = Σ_{n=0}^∞ [(s-1+n)!/(s-1)! n!] t^n
ですので,(1)と比べると m = s-1 になっています.
したがって
(3)  (1)式 = p^m [1/(1-t)^(m+1)] = p^m / p^(m+1) = 1/p
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    • 0
この回答へのお礼

しばらくアクセスできなかったので、お礼が遅れて
すみませんでした。

結果が x(=m、成功回数)に依らない、というのは
ちょっと意外でしたが、たしかにそうなりますね。

シミュレーションしてみた結果も、一致しました。 (^_^;)

よく考えると、
C(N,m) * p^m * (1-p)^(N-m) ...(1) は、
p をかけると、
C(N, m) * p^(m+1) * (1-p)^(N-m)となりますが、
これが、
成功確率 p のベルヌーイ試行が N+1回目に、
m+1 回の成功に達する確率に等しい、
つまり、N=∞まで和を取ると 1 になる、
ということから、
(1)のN=∞までの和は、1/p である、ということが
わかるはずでした。

#なんか、乱暴な議論のような気もしますが。

どうもありがとうございました。

#もしかしたら、この議論に何か指摘があるかもしれない
ので
#この質問は、あとしばらく締め切らないで開けておきます。

お礼日時:2001/08/24 21:36

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※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

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Aベストアンサー

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釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

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n 回の試行のうち何回目が成功するかの場合の数は nCk 通りで、そのそれぞれの場合の確率が(2/3)^k × (1/3)^(n-k) なので、n回の試行で k 回成功する確率 P(Y=k) は
P(Y=k) = nCk (2/3)^k (1/3)^(n-k)

n=3 のとき
P(2≦Y) = P(Y=2) + P(Y=3)
= 3C2 (2/3)^2(1/3) + 3C3 (2/3)^3
= 20/27

n=5 のとき
P(3≦Y) = P(Y=3) + P(Y=4) + P(Y=5)
= 5C3 (2/3)^3(1/3)^2 + 5C4 (2/3)^4(1/3) + 5C5 (2/3)^5
= 64/81

nCk (2/3)^k (1/3)^(n-k) という確率を見て二項分布を思い出しませんか。
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P(X=k) = nCk p^k q^(n-k)
この問題そのものですね。
#1さんがおっしゃるように、じゃんけんで勝つか引き分ける確率が2/3, 負ける確率が1/3として、n 回じゃんけんをして k 回負けない確率とか。
二項分布は確率の最初に習う分布だと思います。この問題を見て二項分布がすぐに出てこないのはちょっと寂しいです。もう一度きちんと教科書を見直しましょう。

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n 回の試行のうち何回目が成功するかの場合の数は nCk 通りで、そのそれぞれの場合の確率が(2/3)^k × (1/3)^(n-k) なので、n回の試行で k 回成功する確率 P(Y=k) は
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= 20/27

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