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次のべき級数の収束域を求めてください。

1.Σ(n=1→∞){(-1)^n/n^2}x^n

2. Σ(n=1→∞){1/√n}x^2n

3. Σ(n=1→∞){(-1)^n+1/log(n+1)}x^n

よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

  • 1と3ではa_n/a_n+1を使っており、2ではa_n+1/a_nを使っているということでしょうか?
    どうして使い分けをするのかがよくわかりません。
    また、1と3ではxがないように見えるのですが、どうしてでしょうか?

      補足日時:2020/08/09 21:14

A 回答 (2件)

1.


ダランベールの収束半径
lim[n→∞] | {(-1)^n/n^2} / {(-1)^(n+1)/(n+1)^2} | = lim[n→∞] (n+1)^2/n^2 = lim[n→∞] (1 + 1/n)^2 = 1.

2.
ダランベールの判定法
lim[n→∞] | {{1/√(n+1)}x^(2(n+1))} / {{1/√n}x^(2n)} | = lim[n→∞] {√n/√(n+1)}x^2 = (x^2) lim[n→∞] 1/√(1 + 1/n) = x^2 < 1
ならば収束する。 収束半径は 1.

3.
ダランベールの収束半径
lim[n→∞] | {(-1)^n + 1/log(n+1)} / {(-1)^(n+1) + 1/log(n+1+1)} | = lim[n→∞] | {(-1)^n + o(n)} / {(-1)^(n+1) + o(n)} | = | -1 | = 1.
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←補足



2. は、各 x^n についての lim[n→∞]a_(n+1)/a_n を考えると、 n が奇数の場合が問題になる。
x^2 = y とでも置いて、 y についてのべき級数にダランベールの収束半径をあてはめてもよいし、
もともとのダランベールの判定法に戻って適用する方法もある。No.1 では、そっちを行った。

ダランベールの級数収束判定法とは、Σ[n=1→∞] a_n は lim[n→∞] |a_(n+1)/a_n| < 1 のとき収束、
lim[n→∞] |a_(n+1)/a_n| > 1 のとき発散、lim[n→∞] |a_(n+1)/a_n| = 1 やこの極限が収束しないときは
Σ[n=1→∞] a_n の収束はこの方法では判定できない...というもの。

これをべき級数にあてはめて a_n = (c_n)x^n と置くと、
lim[n→∞] |a_(n+1)/a_n| = |x| lim[n→∞] |c_(n+1)/c_n| だから、Σ[n=1→∞] (c_n)x^n は
|x| < lim[n→∞] |c_n/c_(n+1)| のとき収束、|x| > lim[n→∞] |c_n/c_(n+1)| のとき発散と判る。
この lim[n→∞] |c_n/c_(n+1)| を、Σ[n=1→∞] (c_n)x^n の「収束半径」という。
1.3. は、端折ってこちらの計算を使った。
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この回答へのお礼

補足していただき、ありがとうございます!

お礼日時:2020/08/09 21:45

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