積分の問題

∫0→t √t²-ｘ²dxの答えはどうなるでしょうか。

私は部分積分法でtπ/4になったのですが…

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/11 14:29

ｘ=tcosθとおくと

dx=-sinθdθ
ｘ：0→t
θ:π/2→0だからこの範囲では
√t²-ｘ²=√t²(sin²θ)=|t|sinθとなるので
与式＝∫[:π/2→0]|t|sinθ(-sinθ)dθ
=-|t|∫[:π/2→0](1-cos2θ)/2dθ
=-(|t|/2)[θ-(sin2θ/2)]
=-(|t|/2){0-0)-(π/2-0)}
=(π/4)・|t|
tの範囲がプラスということなら
=tπ/4

この回答へのお礼

ご回答していただきありがとうございます。ｔ>０の条件を記載し忘れていました。
感謝いたします。

お礼日時：2020/08/11 14:48