滑車の問題です。 半径aで慣性モーメントIの滑車にヒモを巻いて、両端に質量Mの重りをつけたとします(

滑車の問題です。
半径aで慣性モーメントIの滑車にヒモを巻いて、両端に質量Mの重りをつけたとします(張力はT)。時刻tで一方に角速度ωを与えた際、止まるまでに物体が登った距離を求めたいです。
おそらくエネルギー保存を使うと思うのですが、うまく立式できませんでした。過程を教えていただけると幸いです。

質問者からの補足コメント

• 条件を間違えてました。
  重りについて片方はm、もう片方はMです

    補足日時：2020/08/11 21:25

• Mを吊るした方が上がるように角速度を与えます

    補足日時：2020/08/11 21:26

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/11 21:11

＞両端に質量Mの重りをつけたとします

つまり、両方に同じ質量のおもりがついていて「つり合う」ということですね？

＞時刻tで一方に角速度ωを与えた

これは一種の「慣性運動」ですから、「速度、角速度一定」で、空気の抵抗や滑車の摩擦を考えなければ止まらないと思います。

＞おそらくエネルギー保存を使うと思うのですが

一方のおもりが高くなったのと同じ高さ分、他方のおもりは低下しますから、位置エネルギーは言うまでもなく一定です。
両方のおもりに働く重力は等しいですから合力はゼロであり、外部から加わる仕事もありません。
位置エネルギー一定、おもりの運動エネルギー一定、滑車の回転運動エネルギー一定のまま推移するだけです。何も起こりません。

そもそも止まらないのだから、「うまく立式できない」で当然かと思います。

この回答へのお礼

すみません条件を間違えてました。片方は重さmでもう片方はMです

お礼日時：2020/08/11 21:24

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/12 00:46

No.1 です。

「補足」を見ました。

＞条件を間違えてました。
＞重りについて片方はm、もう片方はMです

＞Mを吊るした方が上がるように角速度を与えます

条件が抜けていますが、
　M > m
なんですよね？

これは完全に「運動方程式を立てて解く」問題です。
ただし、おもりM と m の並進運動と、滑車の回転運動の両方を考慮しないといけません。
ヒモが滑車を滑らないという条件で、角速度 ω と周速度は
　v = aω　　　①
の関係で対応します。

ヒモの張力を T、滑車を回転させる力を f とすると、おもりMが降下する方向（与えた角速度 ω と逆方向）を正として
・おもり M の運動方程式
　M*dv/dt = Mg - T + f　　　　②
・おもり m の運動方程式
　m*dv/dt = T + f - mg　　　　③
・滑車の運動方程式
　I*dω/dt = 2af
　→　①を使えば
　I*(1/a)*dv/dt = -2af
　→　f = [I/(2a^2)]*dv/dt 　　　④

②+③より
　(M + m)dv/dt = (M - m)g + 2f
④より
　(M + m)dv/dt = (M - m)g + [I/(a^2)]*dv/dt
→　[M + m - I/(a^2)]dv/dt = (M - m)g
→　dv/dt = {(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}

これより
　v(t) = {(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}t + C　（C：積分定数）
初期条件が
　v(0) = C = -aω
より
　v(t) = {(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}t - aω　　　　⑤

変位は、これを t で積分して
　x(t) = (1/2){(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}t^2 - aωt　　　　⑥

⑤より、停止するときつまり v(T)=0 となる時間Tと求めれば
　v(T) = {(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}T - aω = 0
より
　T = aω/{(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}

これを⑥に代入して
　x(T) = (1/2){(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}{aω/{(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}^2 - aω*aω/{(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}
　　　= -(1/2)(aω)^2 /{(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}

M が「下がる」方向を正としたので、これが負なのは「M が上がる最高点」だからです。従って「登った距離」は
　|x(T)| = (1/2)(aω)^2 /{(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}

この回答へのお礼

ありがとうございました！
助かりました

お礼日時：2020/08/12 02:26

No.3 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/08/12 08:08

エネルギー保存を使い計算。

M>mで初期速さをv(Mが上向き)として最終的にMが初期の高さよりh高いところで速度が0になる(静止するのではなくそこから逆向きに動き出す)とする。
位置エネルギーの基準点を各おもりについて初期の位置とする。

初期状態の位置エネルギーは0,運動エネルギーの和は(1/2)(M+m)v^2,滑車の回転エネルギーは(1/2)Iω^2
速度が0になった時点での運動エネルギーと回転エネルギーはともに0,おもりの位置エネルギーはMのほうがMgh増えmのほうがmgh減る。

(1/2)mv^2+(1/2)Iω^2=Mgh-mgh

となる。
また、滑車と糸が滑らない条件から
v=aω

これを解けばよい。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/12 15:38

No.2 です。

#2 に間違いがあったので、修正します。

修正箇所を明示しながら、下記に全文を再掲します。

ヒモが滑車を滑らないという条件で、角速度 ω と周速度は
　v = aω　　　①
の関係で対応します。

ヒモの張力を T、滑車を回転させる力を f とすると、おもりMが降下する方向（与えた角速度 ω と逆方向）を正として
・おもり M の運動方程式
　M*dv/dt = Mg - T - f　　　　②　　←滑車を回転させる力 f は、おもりMの運動に寄与しないので「差し引く」方向に訂正。
・おもり m の運動方程式
　m*dv/dt = T - f - mg　　　　③　　←滑車を回転させる力 f は、おもりmの運動に寄与しないので「差し引く」方向に訂正。
・滑車の運動方程式
　I*dω/dt = 2af
　→　①を使えば
　I*(1/a)*dv/dt = 2af　　　　←符号の誤りを訂正
　→　f = [I/(2a^2)]*dv/dt 　　　④

②+③より
　(M + m)dv/dt = (M - m)g - 2f　　　　←上の訂正により「2f」の符号を変更
④より
　(M + m)dv/dt = (M - m)g - [I/(a^2)]*dv/dt　　　　←同上
→　[M + m + I/(a^2)]dv/dt = (M - m)g
→　dv/dt = {(M - m)g/[M + m + I/(a^2)]}

これより
　v(t) = {(M - m)g/[M + m + I/(a^2)]}t + C　（C：積分定数）
初期条件が
　v(0) = C = -aω
より
　v(t) = {(M - m)g/[M + m + I/(a^2)]}t - aω　　　　⑤

変位は、これを t で積分して
　x(t) = (1/2){(M - m)g/[M + m + I/(a^2)]}t^2 - aωt　　　　⑥

⑤より、停止するときつまり v(T)=0 となる時間Tと求めれば
　v(T) = {(M - m)g/[M + m + I/(a^2)]}T - aω = 0
より
　T = aω/{(M - m)g/[M + m + I/(a^2)]} = aω[M + m + I/(a^2)]/[(M - m)g]　　←分子・分母を整理

これを⑥に代入して
　x(T) = (1/2){(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}{aω[M + m + I/(a^2)]/[(M - m)g]}^2 - aω*aω[M + m + I/(a^2)]/[(M - m)g]
　　　= -(1/2)(aω)^2[M + m + I/(a^2)]/[(M - m)g]
　　　= -(1/2){ [(M + m)a^2 + I] / [(M - m)g] }ω^2　　←分子・分母を整理

M が「下がる」方向を正としたので、これが負なのは「M が上がる最高点」だからです。従って「登った距離」は
　|x(T)| = (1/2){ [(M + m)a^2 + I] / [(M - m)g] }ω^2　　　⑦


#2 には『これは完全に「運動方程式を立てて解く」問題です』と書きましたが、#3 さんのように「エネルギー保存」を使った方が圧倒的に簡単ですね。

ただ、初速を与えたときには「おもりM」も動いていると思うので（その意味で、問題文の「時刻tで一方に角速度ωを与えた」というのは何かおかしい）

　(1/2)(M + m)v^2 + (1/2)Iω^2 = (M - m)gh

でしょう。
これに v=aω を代入して

　h = [(1/2)(M + m)(aω^2 + (1/2)Iω^2] / [(M - m)g]

とすれば、一発で⑦になります。

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/08/13 10:08

#3です。

#4様


ご指摘ありがとうございます。最後の式で完全にMの運動エネルギーが抜けていました。