線形写像 Imfについて

線形写像f:V→V’のとき
ImfはVの部分空間になることを示せ.

っていう問題が本に書いているのですが、解き方（方針）が全く分かりません。
方針を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#14584 回答日時： 2005/01/24 21:22

ひょっとしてVの部分空間でなく、V'の部分空間であることをしめすのではないでしょうか。

だとしたら、以下のようにすればいいと思います。（以下、K線形写像とします。）
(1) 任意のImfの元y,zに対し、y-zもImfの元であること。
(2) 任意のImfの元yに対し、任意のKの元aにたいしてayがImfの元であること。
上の(1)(2)を満たすこととImfが部分空間であることは同値です。（これは線形代数の本ならば載っていることと思います）

以上のようにして示すことが出来ます。

No.1 回答者： minardi 回答日時： 2005/01/24 16:28

WがVの部分空間⇔x,y∈Wならax+by∈W

ということをつかうので

y1,y2∈Imfとすればx1,x2∈Vがあって
y1=f(x1),y2=f(x2)となる。
とかんがえて

このとき
ay1+by2がImfに属すことをしめせば
ImfはV'の部分空間であることがわかると思います。