「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

(一致の定理)領域D上の正則関数f、gについてD内の小領域でf=gが成り立つならばD上でf=g。
これを用いて「ある領域D上の正則関数全体の集合O(D)が整域になること」を示そうとしましたが、うまくできません。どう修正すべきなのでしょうか?
(証明)D上のfの零点でない点aとgの零点でない点bがなければならない。(そうでなければD上でf、gは常に0)一致の定理からaのどんな開近傍U(a)をとってもその上では「f≡0はあり得ない」。gに関してもbのどんな開近傍U(b)をとってもその上では、「g≡0はあり得ない」。(ここまで考えましたが、U(a)⋀U(b)でfg≡0はあり得ない」とは言えないと思いました)

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    回答ありがとうございます。Z(f)={z∈D|f(z)=0}はDの閉集合、Z(g)={z∈D|g(z)=0}はDの閉集合というのは一致の定理から導かれるのでしょうか?

      補足日時:2020/08/16 20:10

A 回答 (2件)

連続の定義から導かれるのです



f,gをD上で恒等的に0でない正則関数とする

f^(-1)(0)=Z(f)={z∈D|f(z)=0}

閉集合{0}の(正則)連続写像の逆像は閉だから
Dの閉集合

g^(-1)(0)=Z(g)={z∈D|g(z)=0}は

閉集合{0}の(正則)連続写像の逆像は閉だから
Dの閉集合

Z(f)の補集合D-Z(f)≠φはDの開集合
Z(g)の補集合D-Z(g)≠φはDの開集合

{D-Z(f)}∩{D-Z(g)}=φ
と仮定すると
D-Z(f)⊂Z(g)
だから
開集合D-Z(f)でg=0となって
D上で恒等的にg=0となり矛盾するから
{D-Z(f)}∩{D-Z(g)}≠φ
だから
a∈{D-Z(f)}∩{D-Z(g)}
となるaがあるから
f(a)≠0
g(a)≠0
f(a)g(a)≠0
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この回答へのお礼

ありがとうございます、納得しました。

お礼日時:2020/08/16 21:16

f,gをD上で恒等的に0でない正則関数とする



Z(f)={z∈D|f(z)=0}はDの閉集合
Z(g)={z∈D|g(z)=0}はDの閉集合
Z(f)の補集合D-Z(f)≠φはDの開集合
Z(g)の補集合D-Z(g)≠φはDの開集合

{D-Z(f)}∩{D-Z(g)}=φ
と仮定すると
D-Z(f)⊂Z(g)
だから
(小領域)開集合D-Z(f)でg=0となって
D上で恒等的にg=0となり矛盾するから
{D-Z(f)}∩{D-Z(g)}≠φ
だから
a∈{D-Z(f)}∩{D-Z(g)}
となるaがあるから
f(a)≠0
g(a)≠0
f(a)g(a)≠0
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