ある領域Ｄ上の正則関数全体の集合Ｏ（Ｄ）が整域になることの証明（複素解析）

（一致の定理）領域Ｄ上の正則関数ｆ、ｇについてＤ内の小領域でｆ＝ｇが成り立つならばＤ上でｆ＝ｇ。
これを用いて「ある領域Ｄ上の正則関数全体の集合Ｏ（Ｄ）が整域になること」を示そうとしましたが、うまくできません。どう修正すべきなのでしょうか？
（証明）Ｄ上のｆの零点でない点aとｇの零点でない点ｂがなければならない。（そうでなければＤ上でｆ、ｇは常に０）一致の定理からaのどんな開近傍Ｕ（a)をとってもその上では「ｆ≡０はあり得ない」。ｇに関してもｂのどんな開近傍Ｕ（ｂ）をとってもその上では、「ｇ≡０はあり得ない」。（ここまで考えましたが、Ｕ（ａ）⋀Ｕ（ｂ）でｆｇ≡０はあり得ない」とは言えないと思いました）

質問者からの補足コメント

• 

  回答ありがとうございます。Z(f)={z∈D|f(z)=0}はDの閉集合、Z(g)={z∈D|g(z)=0}はDの閉集合というのは一致の定理から導かれるのでしょうか？

    補足日時：2020/08/16 20:10

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/08/16 19:36

f,gをD上で恒等的に0でない正則関数とする

Z(f)={z∈D|f(z)=0}はDの閉集合
Z(g)={z∈D|g(z)=0}はDの閉集合
Z(f)の補集合D-Z(f)≠φはDの開集合
Z(g)の補集合D-Z(g)≠φはDの開集合

{D-Z(f)}∩{D-Z(g)}=φ
と仮定すると
D-Z(f)⊂Z(g)
だから
(小領域)開集合D-Z(f)でg=0となって
D上で恒等的にg=0となり矛盾するから
{D-Z(f)}∩{D-Z(g)}≠φ
だから
a∈{D-Z(f)}∩{D-Z(g)}
となるaがあるから
f(a)≠0
g(a)≠0
f(a)g(a)≠0

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/08/16 20:41

連続の定義から導かれるのです

f,gをD上で恒等的に0でない正則関数とする

f^(-1)(0)=Z(f)={z∈D|f(z)=0}
は
閉集合{0}の(正則)連続写像の逆像は閉だから
Dの閉集合

g^(-1)(0)=Z(g)={z∈D|g(z)=0}は
は
閉集合{0}の(正則)連続写像の逆像は閉だから
Dの閉集合

Z(f)の補集合D-Z(f)≠φはDの開集合
Z(g)の補集合D-Z(g)≠φはDの開集合

{D-Z(f)}∩{D-Z(g)}=φ
と仮定すると
D-Z(f)⊂Z(g)
だから
開集合D-Z(f)でg=0となって
D上で恒等的にg=0となり矛盾するから
{D-Z(f)}∩{D-Z(g)}≠φ
だから
a∈{D-Z(f)}∩{D-Z(g)}
となるaがあるから
f(a)≠0
g(a)≠0
f(a)g(a)≠0

この回答へのお礼

ありがとうございます、納得しました。

お礼日時：2020/08/16 21:16