No.3ベストアンサー
- 回答日時:
よく読んで 1/2(x2y1-x1y2)になる場合とならない場合があるよと書いたはずですよ!
#1に書いたように
△OAB=(1/2)|x1y2-x2y1| が公式・・・①
もう少し補足すると
y1>y2, x1<x2のときは 小さい数同士の積<大きい数同士の積 ということで
x1y2<x2y1
移行して
x1y2-x2y1<0
公式①の絶対値の中身がマイナスだから
絶対値を外すときは-1倍しないといけないので
△OAB=(1/2)|x1y2-x2y1|=(1/2)・(-1)・(x1y2-x2y1)=(1/2)(x2y1-x1y2)
よって、このケースではあなたの質問文にかかれた通りの式になる
しかしy1<y2という条件だけでは、x1y2>x2y1なのか、それともx1y2<x2y1になるか確定しない
例えば y1=1,y2=2のとき
x1=3,x2=1ならx1y2>x2y1となるし
x1=1,x2=3ならば x1y2<x2y1 となるので x1,x2の値次第でx1y2とx2y1の大小関係はかわる
こうなると絶対値の中身がプラスか、マイナスか確定しないので安易に公式①の絶対値は外せない
y1<y2 かつx1>x2 というようにy1とy2の大小関係のほかにx1,x2の大小関係も決まっているなら
大きい数同士の積>小さい数同士の積 だから
x1y2>x2y1 となり
移行してx1y2-x2y1>0となるので
公式①の絶対値の中身がプラスで -1倍のような操作なしに絶対値記号を外せる
ゆえに、この場合は△OAB=(1/2)|x1y2-x2y1|=(1/2)(x1y2-x2y1) となります
ということで、あなたが疑問に思ったケース(ただしx1,x2の大小条件も付けたし)では
x1y2とx2y1が入れ替わり、引き算の順番が変わることに注意です
No.2
- 回答日時:
(1/2)(x2y2 - x1y1) にゃーなりませんよ。
S = (1/2)(x2y1 - x1y2) は、裏表のある三角形の面積を表す式です。
ベクトル (x1,y1) を (x2,y2) へ、180以下の回転で重ねるとき
それが 時計回りの回転なら S > 0, 反時計回りなら S < 0 になります。
裏表を考えずに符合無しの面積を求めるときは、三角形は |S| です。
なぜそうなるかって? 興味があれば、"外積" を google してみましょう。
https://atarimae.biz/archives/23716
No.1
- 回答日時:
あなたの示した式は一般的ではありません
以下を覚えておくべきです
A(x1,y1),B(x2,y2)とすると
△OAB=(1/2)|x1y2-x2y1|
・・・絶対直の中身がプラスの場合絶対値を外すなら△OAB=(1/2)|x1y2-x2y1|=(1/2)(x1y2-x2y1)
絶対直の中身がマイナスの場合絶対値を外すなら△OAB=(1/2)|x1y2-x2y1|=-(1/2)(x1y2-x2y1)
で、y1<y2だけでは絶対値の中身がプラスかマイナスか決まらないので 絶対値を外した形は確定しませんが
y1<y2 かつx1>x2ならば
x1y2>x2y1⇔x1y2-x2y1>0なので
△OAB=(1/2)|x1y2-x2y1|=(1/2)(x1y2-x2y1) となります
ちなみに導出法は
直線ABの方程式をもとめて
AB:(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)y=0
ABと点Oの距離hは 点と直線の距離の公式で
h=|x2y1-x1y2|/AB
∴△OAB=(1/2)AB・h=(1/2)|x2y1-x1y2|
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