「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

代数学なのですが次の問題が分かりません。
集合R^2=R×R上の二項演算⚪︎を(x,y)⚪︎(z,w)=(x+z,ye^z+w)で定める。
行列の積・に関して集合Gは
G={(1段目 e^x 0 2段目 y 1);x,y∈R }は郡をなすことを示せ。

どなたか御教授お願いいたします。

質問者からの補足コメント

  • 問題はこのような感じです

    「代数学なのですが次の問題が分かりません。」の補足画像1
      補足日時:2020/08/17 23:23

A 回答 (2件)

ああ、これ↓の群の定義がここにあった。


https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11836955.html

実正方行列のうち行列式が 0 でないものを集めると
乗法について群になることは知っていますね?
一般線型群 GL(n,R) というやつです。
質問の G の元は、行列式の値が e^x で、 0 ではないので、
G は GL(2,R) の部分集合になっています。

群の部分集合が部分群であるかどうか調べるには、
演算について閉じていることと
逆元が含まれていることを確認すれば十分です。

g1 =
   e^x1   0
   y1    1,
g2 =
   e^x2   0
   y2    1
に対して、
g1 g2 =
   (e^x1)(e^x2)    0
   (y1)(e^x2)+y2   1   ←[*]
なので、
 x3 = x1 + x2,
 y3 = (y1)(e^x2)+y2
と置けば
g1 g2 =
   e^x3   0
   y3    1
の形となり、G の元であると判ります。
つまり、G は行列積について閉じています。

次に、[*]の結果を参考に
 x2 = - x1,
 y2 = - (y1)e^x2 = - (y1)/e^x1
と置けば、
g1 g2 =
   e^0   0
   0    1
と、積が単位行列になります。
この g2 が g1 の逆行列であり、
G の元の逆行列は G の中にあります。

よって、G は GL(2,R) の部分群であり、群をなします。
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一橋の現役だけど


問題に誤りあり 
わからないの?
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