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X = { n√2 | n ∈N} とおく.論理と集合の問題です。
(1) |X ∪ Q| = |X| であることを示せ.
(2) 前問の結果を用いて |R\Q| = |R| であることを示せ.
これが分かりません。大学1年生程度の知識で教えて下さい。(Nは自然数,Rは実数,Qは有理数, ⊔は非交和を表します)
ヒントは
(1) X ∪ Q が可算集合であることを示す.
(2)Y = R\(X ∪ Q) とおくと,R = (X ∪ Q) ⊔ Y ,R\Q = X ⊔ Y となるので,(1) を利用すれば R\Q と R の間の全単射を作ることができる.
だそうです。

質問者からの補足コメント

  • (1)で、可算集合と可算集合の和集合は可算集合であることは示せました。
    しかし(2)のヒントがピンときません。
    なぜ非交和が登場するのかが分からず、全単射の作り方もイマイチです。

      補足日時:2020/08/19 03:00

A 回答 (6件)

(2)


> Y = R\(X ∪ Q) とおくと、 R = (X ∪ Q) ⊔ Y , R\Q = X ⊔ Y
は了解したのだろうか?
(1)より |X∪Q| = |X| なのだから、X∪Q と X の間には全単射が存在する。
R の各元について、X ∪ Q の元には X の元をその全単射で、
Y の元はそのまま同じ元を対応させれば、それは
(X ∪ Q) ⊔ Y から X ⊔ Y への全単射になっている、
すなわち、|R| = |(X∪Q)⊔Y| = |X⊔Y| = |R\Q|.

非交和が登場するのは、X⊔Y は X と Y をそれぞれ数え上げれば、
両者の数え方に重複はないことによる。X∪Y だと、そうはいかないから。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。ヒントの内容は微妙でした。しかし、ありものがたりさんのおかげで理解できました!本当にありがとうございました。

お礼日時:2020/08/19 17:13

だとすると「可算集合と可算集合の和集合は可算集合であることは示せました。

」ってのはどういうこと? 「示せた」けど「証明できない」というのは明らかにおかしいよね.

ところで偶数の集合と奇数の集合の和集合はどうなるかわかる?
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この回答へのお礼

確かにそうでした、すみません。
偶数と奇数の和集合は自然数全体の集合になると思います。

お礼日時:2020/08/19 22:32

ちょっと確認.



「ありがとうございます。|N|=IQIはそのまま用いてよいそうです。私はXとQがそれぞれ可算集合であることを利用して、「可算集合と可算集合の和集合も可算集合」であることを利用したかったのですが、その証明方法が分かりませんでした。」
というのは, どれの証明の話?

(1) なら直接使えばいいだけだし, (2) だったら出番そのものがないんだけど.
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この回答へのお礼

(1)の話です。XUQが可算集合であることを証明するときです。「可算と可算の和集合は可算」が成り立つことは知っていたのですが、証明ができませんでした。

お礼日時:2020/08/19 19:17

(1)


N の元 n を X の元 n√2 に対応させると、これは N から X への全単射である。
よって、|X| = |N|.

|Q| = |N| は既知としてよいのだろうか?
示すなら...
Q ⊃ N より |Q| ≧ |N|.
Q の元は既約分数表示を持つから、Z^2 の部分集合との間に全単射を持つ。
すなわち、|Q| ≦ |Z^2|.
Z^2 の元 (x,y) は、|x|+|y| が小さいものから順に番号をつけていけば可付番である。
すなわち |Z^2| ≦ |N|.
以上より、|Q| ≧ |N| かつ |Q| ≦ |Z^2| ≦ |N| によって |Q| = |N|.

X∪Q ⊃ X より |X∪Q| ≧ |X|.
この問題では X∪Q = X⊔Q だが、ここではそのことは問題にしない。
一般に ∪ と ⊔ について |X∪Q| ≦ |X⊔Q| である。
X, Q どちらも可付番であることから、
X⊔Q の元は、X の元に奇数、Q の元に偶数というように交互に付番すれば、可付番である。
すなわち、|X⊔Q| ≦ |N|.
以上より、|X∪Q| ≧ |X| かつ |X∪Q| ≦ |X⊔Q| ≦ |N| = |X| によって |X ∪ Q| = |X|.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。|N|=IQIはそのまま用いてよいそうです。私はXとQがそれぞれ可算集合であることを利用して、「可算集合と可算集合の和集合も可算集合」であることを利用したかったのですが、その証明方法が分かりませんでした。

お礼日時:2020/08/19 17:11

(1) の結果を言い替えると


X ∪ Q と X の間に全単射が存在する
ってことだよね. これを仮定して, R\Q と R の間の全単射を作ることはできる?
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この回答へのお礼

ヒントの集合Yとかを使って作るってことですか?

お礼日時:2020/08/19 11:53

何をどう考えてどこまでできている? どこで困った?

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この回答へのお礼

(1)で、可算集合と可算集合の和集合は可算集合であることは示せました。
しかし(2)のヒントがピンときません。
なぜ非交和が登場するのかが分からず、全単射の作り方もイマイチです。

お礼日時:2020/08/19 02:55

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