X, Y を順序集合とする．X × Y 上の 2 項関係を (x, y) ⪯ (z, w) ⇐⇒ x

X, Y を順序集合とする．X × Y 上の 2 項関係を
(x, y) ⪯ (z, w) ⇐⇒ x ≺X z または (x = z かつ y ⪯Y w)
と定める。
(1) ⪯ が X × Y 上の順序であることを示せ．
(2) ⪯X, ⪯Y が全順序なら ⪯ も全順序であることを示せ．
これが分かりません、大学1年生程度の知識で教えてください。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/08/19 10:28

順序の定義

a≦a…(反射律)
(a≦b)&(b≦c)→a≦c…(推移律)
(a≦b)&(b≦a)→a=b…(反対称律)
が成り立つとき≦を順序という
順序≦に対して任意のa,bに対して
(a≦b)or(b≦a)が成り立つ時
≦を全順序という

(1)
Yは順序集合だから
y(≦Y)y
だから
(x=x)&(y(≦Y)y)
だから
(x,y)≦(x,y)…(反射律)が成り立つ

(x,y)≦(z,w)≦(u,v)
とすると

[(x(<X)z)or{(x=z)&(y(≦Y)w)}]&[(z(<X)u)or{(z=u)&(w(≦Y)v)}]
=
(x(<X)u)or{(x=u)&(y(≦Y)v)}

(x,y)≦(u,v)
だから
(推移律)が成り立つ

(x,y)≦(z,w)≦(x,y)
とすると

[(x(<X)z)or{(x=z)&(y(≦Y)w)}]&[(z(<X)x)or{(z=x)&(w(≦Y)y)}]
=
(x=z)&(y(≦Y)w)&(z=x)&(w(≦Y)y)
=
(x=z)&(y=w)
だから
(反対称律)が成り立つから

≦がX×Yの順序である

(2)
(x(≦X)z)or(z(≦X)x)=(x(<X)z)or(x=z)or(z(<X)x)
(y(≦Y)w)or(w(≦Y)y)

x(<X)zの時(x,y)≦(z,w)
z(<X)xの時(z,w)≦(x,y)

x=zの時
y(≦Y)wの時(x,y)≦(z,w)
w(≦Y)yの時(z,w)≦(x,y)
だから
≦も全順序