これどこでやらかしてますか？ 正しいやり方を教えてください。

これどこでやらかしてますか？
正しいやり方を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/08/22 01:39

2行目から3行目の積分が間違っている。

∫[0, √3] (x^2 + 1)^(1/2) dx

x=tan tとすると、積分範囲は0～√3から、0～π/3となる。

dx/dt=1/(cos t)^2

0～π/3の範囲において、cos t>0, ((tan t)^2 + 1) > 0より、
(tan t)^2 + 1=1/(cos t)^2 > 0
√((tan t)^2 + 1)=√(1/(cos t)^2)=1/(cos t)

=∫[0, π/3] (1/(cos t)^3) dt
=∫[0, π/3] (1/(cos t)^2)(1/cos t) dt
={tan t/cos t}[0, π/3] - ∫[0, π/3] (tan t)(sin t/(cos t)^2) dt
=√3/(1/2) - ∫[0, π/3] (sin t)^2/(cos t)^3 dt
=2√3 - ∫[0, π/3] (1 - (cos t)^2)/(cos t)^3 dt
=2√3 - ∫[0, π/3] (1/(cos t)^3) dt - ∫[0, π/3] (1/cos t) dt

I=∫[0, π/3] (1/(cos t)^3) dtとすると、
I=2√3 - I + ∫[0, π/3] (1/cos t) dt
2I=2√3 + ∫[0, π/3] (1/cos t) dt
I=√3 + (1/2)∫[0, π/3] (1/cos t) dt
=√3 + (1/4){log((1+sin t)/(1-sin t))}[0, π/3]
=√3 + (1/4)log((1+(√3/2)/(1-(√3/2)))
=√3 + (1/4)log((2+√3)/(2-√3))
=√3 + (1/4)log((2+√3)^2)
=√3 + (1/2)log(2+√3)

よって、∫[0, √3] (x^2 + 1)^(1/2) dx=√3 + (1/2)log(2+√3)

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
なんでこのように変形するのがだめなのでしょうか？

お礼日時：2020/08/22 08:01

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/08/22 09:09

>なんでこのように変形するのがだめなのでしょうか？

{(2/3)(x^2 + 1)^(3/2)}×(1/2)を微分すると、

{(2/3)(x^2 + 1)^(3/2)}×(1/2)
=(1/3)(x^2 + 1)^(3/2)
={(1/2)(x^2 + 1)^(1/2)}×(x^2 + 1)'
={(1/2)(x^2 + 1)^(1/2)}×2x
=x(x^2 + 1)^(1/2)

となり、(x^2 + 1)^(1/2)にはならないから。

この回答へのお礼

わかりました。
二回も答えてくださり本当にありがとうございました。

お礼日時：2020/08/22 09:58