ピタゴラスの定理と角度の関係？

直角三角形の斜辺を直径とする円を考え、直角を挟む二辺をそれぞれＡ，Ｂとしたとき円の中点からＡ，Ｂを挟む角度を、＜Ａ，＜Ｂとすればこの二つの和は常にπとなりますがこれは斜辺Ｃを挟む角度でもあります。即ち＜Ａ+＜Ｂ＝＜Ｃとなります。これをピタゴラスの定理Ａ＾２+Ｂ＾２＝Ｃ＾２と対応させると＜ＡがＡ＾２に、＜ＢがＢ～２に、Ｃ＾２が＜Ｃ(＝π）に対応するように考えるのはどこが誤りなのでしょうか？２辺の角度の和が常にπになることを用いて、ピタゴラスの定理を証明することは不可能なのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： ranx 回答日時： 2005/01/25 17:42

No.3=4です。

済みません。思いっきり循環論でした。
sin^2(A)+cos^2(A)=1
って、ピタゴラスの定理ですよね。
ですので証明になっていません。
失礼しました。

この回答への補足

二つの角度都度ととふたつの辺の二乗との関係が何か無いかということなのですが・・・

補足日時：2005/01/26 08:22

No.4 回答者： ranx 回答日時： 2005/01/25 14:55

No.3 訂正です。

×　a^2+b^2=R^2(sin^2(A)+cos^2(B))=R^2

○　a^2+b^2=R^2(sin^2(A)+cos^2(A))=R^2

No.3 回答者： ranx 回答日時： 2005/01/25 14:52

正弦定理から、三角形の外接円の直径をＲとすると

a=RsinA
b=RsinB
c=RsinC
直角三角形の場合、sinC=1、sinA=cosBですから
c^2=R^2
a^2+b^2=R^2(sin^2(A)+cos^2(B))=R^2
∴a^2+b^2=c^2
正弦定理は円周角不変の定理から導けるので、
多分循環論には陥っていないと思いますが、
ちょっと自信なしです。

No.2 回答者： kmb01 回答日時： 2005/01/25 13:09

>２辺の角度の和が常にπになることを用いて

直角はπ/2、三角形の内角の和はπです。2つの角の和がπ/2になることはもう一つの角がπ/2の直角三角形であることを言っているのと同じです。

>＜ＡがＡ＾２に、＜ＢがＢ～２に、Ｃ＾２が＜Ｃ(＝π）に対応するように考える
A+B=C(=π/2) と、
a^2+b^2=c^2
が似ている(?)からといってa^2+b^2=c^2が成り立つことの説明にはなりません。
対応を利用するといっても、a,b,cとA,B,Cの関係は三角関数を含んだものであり(a=c*sinA, b=c*cosA)、これを用いて証明しようとするとあらかじめ三平方の定理(sin^2+cos^2=1)が必要になるのでこの方法では無理です。

思うに三平方の定理は幾何的にでないと証明できないのでは。

この回答へのお礼

ご教示ありがとうございます。何か特別の対応がつけられないかと諦めきれないのですが・・・

お礼日時：2005/01/25 13:13

No.1 回答者： osumitan 回答日時： 2005/01/25 12:27

余弦定理で考えれば

　Ｃ＾２＝Ａ＾２＋Ｂ＾２－２ＡＢｃｏｓ∠Ｃ
となり、∠Ｃ＝π／２だからｃｏｓ∠Ｃ＝０なので
∴Ｃ＾２＝Ａ＾２＋Ｂ＾２

ってのではダメでしょうか？
ピタゴラスの定理の証明にはならないか…

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。私の対応のさせ方のどこがおかしいのかを知りたいのですが・・・

お礼日時：2005/01/25 12:45