普通の不定積分はいいのですが sin、cos、対数関数を積分すると左辺と右辺で 単位が変わってしまう

普通の不定積分はいいのですが

sin、cos、対数関数を積分すると左辺と右辺で
単位が変わってしまうと思うのですが、

そんなことは無いのでしょうか？
どなたか教えて欲しいです！！

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/25 14:36

sin や cos の中身の単位を考えるとき、よく言われるように

ラジアンを「角が単位円から切り取る弧長」と考えてしまうと、
よくわからないことになります。ここは、単位円を持ちださずに
「角が円から切り取る弧長とその円の半径との比」にしたほうがよい。
そうすると、sin や cos の中身が無単位量であることがハッキリします。

log や e^ なども、物理等で現れるときには、たいていの場合
中身に定数係数が掛かっていて、そのため無単位量になっています。
その定数の値が 1 で式中に書き込まれていないようだと、混乱しますが。

あと、「積分すると左辺と右辺で単位が変わってしまう」というのは、
ひょっとして dx や dt にも単位があることを忘れていませんか？
あるいは、上記と関連して dθ に単位があると思っていないかどうか。

この回答へのお礼

dxやdtにも単位があるんですね！
完全に忘れていました。

詳しくありがとうございます！

お礼日時：2020/08/27 20:15

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/08/26 14:49

そんな筈ないですが、具体例を上げて下さい。

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2020/08/25 19:22

なぜ「積分すると単位が変わる」と思われたのか正直謎ですが、等号で結ばれていると言う事は簡単に言えば「同じものである」と言う事です。

両辺で同じものなのに「単位が変わる」と言うのはもちろんあり得ません。


PS:「積分すると単位が変わる」と思った理由が分かればもう少しちゃんと説明できると思います。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/08/25 10:54

物理で扱うような場合でもsin,cosやlogの中身は無次元です。

微分・積分すると次元が変わりますが、それは微分・積分する変数の次元だけ変わります。

例えばsin(ωt)を時間tで積分すると
∫sin(ωt)dt=-(1/ω)cos(ωt)+C
となりますが、1/ωの次元はTであり、積分する変数tの次元と一致します。(要するに左辺のdtの分)
左右両辺で次元が変化する、ということはありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2020/08/27 20:16

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/25 10:29

三角比と呼ばれることがあるように

sin自体、cos自体は比であり単なる数値です
同様に対数も数値ですから　これらに単位はついていません！
そして　積分記号「∫」とは　「総和」を意味するもので
積分とはざっくり言えば和を求める計算です
ゆえにsin、cos、対数関数の積分は数値同士の足し算をしてその和を求めようということになりますから
積分結果も数値となり単位はつかず
積分の前後で単位が異なるというはありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2020/08/27 20:17

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/25 09:47

そこでいう「単位」って何ですか？

y = sin(x)

のとき、「x は角度」だとして、y は何ですか？

そして、「y を x で積分する」とは
　Σ(yi･Δx)
の Δx→0 の極限ですが、次元としては「y･x」になりますよね？
グラフで書けば「面積」に相当します。