「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

(1)
a>0,b>0とし点(a,b)を通る傾きが負の直線と、x軸、y軸の交点をP,Qとする。PQの長さの最小値を求めよ。

(2)
曲線y=f(x)のa≦x≦bの部分の長さLを定積分で表し、それを区分求積法で証明せよ。

(3)
y=x^2/2の0≦x≦1の部分の長さlを求めよ。

(4)
x=(1+cost)cost、y=(1+cost)sint(0≦t≦π) で表される曲線をCとする。Cとx軸で囲まれる部分の面積Sを求めよ。


解法も書いていただきたいです。よろしくお願いいたします。

A 回答 (1件)

(1) 点(a,b)を通る直線の方程式は、傾きをmとするとy=m(x-a)+b …①。


点P、Qは①でy=0、またはx=0とおくことで、P(a-(b/m),0)、Q(0,-am+b)。
PQ^2=(-am+b)^2+(a-(b/m))^2を求めて、mで微分して増減を調べる…ことになると思うが、図を書いてみると、直感で「PQの傾きm=-1(△POQは直角2等辺三角形)のとき最小じゃね?」ってことはなんとなく予想できるかと。この時、PQ^2=2(a+b)^2。
題意よりa>0、b>0だから、PQ=(a+b)√2。
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