積分の問題をわかりやすく解説していただきたいです。

（１）
a>0,b>0とし点(a,b)を通る傾きが負の直線と、x軸、y軸の交点をP,Qとする。PQの長さの最小値を求めよ。

（２）
曲線y=f(x)のa≦x≦bの部分の長さLを定積分で表し、それを区分求積法で証明せよ。

（３）
y=x^2/2の0≦x≦1の部分の長さlを求めよ。

(４)
x=(1+cost)cost、y=(1+cost)sint（0≦t≦π)　で表される曲線をCとする。Cとx軸で囲まれる部分の面積Sを求めよ。


解法も書いていただきたいです。よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： metabolian 回答日時： 2020/08/26 14:07

(1) 点(a,b)を通る直線の方程式は、傾きをmとするとy=m(x-a)+b …①。

点Ｐ、Ｑは①でy=0、またはx=0とおくことで、Ｐ(a-(b/m),0)、Ｑ(0,-am+b)。
PQ^2=(-am+b)^2+(a-(b/m))^2を求めて、mで微分して増減を調べる…ことになると思うが、図を書いてみると、直感で「PQの傾きm=-1（△POQは直角2等辺三角形）のとき最小じゃね？」ってことはなんとなく予想できるかと。この時、PQ^2=2(a+b)^2。
題意よりa>0、b>0だから、PQ=(a+b)√2。