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この関数fは単射であるが全射でないことを示せ。
カントールの定理
R^2=R×Rの濃度も連続体濃度である|R|= א
証)1対1対応R⇔J=(0,1)を作ることができてR^2⇔J^2を引き起こす。したがって再帰単射列
1:1 f 1:1 x → (x,0)
R^2 ⇔ J^2 → J ⇔ R → R^2
が作れるので|R^2|= אである。
ただしここでf: J^2 → Jはx,y∈Jを無限10進数より、
x=0.x_1x_2・・・, y=0.y_1y_2・・・と表して
x,y∈J → 0.x_1y_1x_2y_2・・・∈Jでされる写像。

とあるのですが、最後の0.x_1y_1x_2y_2とあり、どうやったら全射でなく、単射であるのか示したらいいのか分からなくなってしまいました。数学に詳しい方がおりましたらご教授してくださると助かります!

質問者からの補足コメント

  • 問題の写真です。

    「この関数fは単射であるが全射でないことを」の補足画像1
      補足日時:2020/08/27 16:04

A 回答 (3件)

f(x,y)=0.1010101010…=10/99


(x,y)∈J^2
0<x<1,0<y<1
となるx,yは存在しないから全射でない
(
x=0.11111111…=1/9
y=0
だから
0<y<1ではないから
y=0はJ=(0,1)の要素ではない
)

f(x,y)=f(a,b)
とすると

0.x_1y_1x_2y_2…
=0.a_1b_1a_2b_2…

だから
x_1=a_1
y_1=b_1
x_2=a_2
y_2=b_2

だから
x=a
y=b
だから
単射
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この回答へのお礼

解決しました

xixixiさん、mtrajcpさん、詳しい説明に感謝いたします。先に回答してくれたかたをベストアンサーとさせていただきます。ありがとうございました!

お礼日時:2020/08/27 23:20

No.1 さんが注意されているように,(0,1) の数は無限少数表現(例えば,0.123000・・・は0.122999・・・とする)を使うことを確認しておかないといけません。


そうすれば,簡単だったはずです。
この確認のもとで,(0,1)の数を z = 0.a_1 a_2 a_3 a_4 ・・・と表すと,各 a_n はzに対して一意的に決まります。
f(x,y) = z となる x, y は zから
x = 0.a_1 a_3・・・,y = 0. a_2 a_4 ・・・
と一意的に決まります。すなわち f : J^2 → J は単射です。

z = 1/99 = 0.010101・・・
は f :J^2 → J の像に含まれません(x = 0.000・・・は (0,1) に含まれない)。
すなわち f は全射ではない。
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そもそも、 x, y の10進表示


x=0.x_1x_2・・・,
y=0.y_1y_2・・・ が一意でないから、
関数 f が定義できてない。
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