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数学の問題です

空間内の平面α上に平行四辺形OABCがあり、OA=2、OC=3, 角AOC=60°とする。
点Cを通り、αに垂直な直線上に点Dがあり、CD=1とする。3点O,B,Cを通る平面をβとし、Cを通り、βに垂直な直線とβとの交点をHとする。
(1)△OBDの面積を求めよ。
(2)線分CHの長さを求めよ。

gooドクター

A 回答 (2件)

3点、O、B、Cを通る平面は α なので、3点、O、B、Dを通る平面が β ではないですか?


(1) △OBDの三辺の長さを求めます。
OD²=OC²+CD²
=3²+1²
=10
OD=√10

BD²=BC²+CD²
=2²+1²
=5
BC=√5

平行四辺形OABC、∠AOC=60° より、∠OCB=120°
OB²=CO²+CB²-2・CO・CB・cos∠OCB
=3²+2²-2・3・2・cos∠120°
=9+4-12・(-1/2)
=13+6
=19
OB=√19

△OBDの面積をS、s=(√10+√5+√19)/2 として、ヘロンの公式を利用します。

S=√[{(√10+√5+√19)/2}{(√10+√5+√19)/2 -√10}{(√10+√5+√19)/2 -√5}{(√10+√5+√19)/2 -√19}]
=√[{(√10+√5+√19)/2}{(-√10+√5+√19)/2}{(√10-√5+√19)/2}{(√10+√5-√19)/2}]
=(1/4)√[{(√5+√19)²-√10²}{(√10²-(√5-√19)²}]
=(1/4)√{(5+2√95+19-10)(10-5+2√95-19)}
=(1/4)√{(2√95+14)(2√95-14)}
=(1/4)√(380-196)
=(1/4)√184
=(1/2)√46

(2) 三角錐 COBD の体積をVとします。
V=(1/3)×△OBD×CH
=(1/3)×(1/2)√46×CH
=(√46/6) CH……①

また、V=(1/3)×△OBC×CD

△OBC=(1/2)・CO・CB・sin ∠OCB
=(1/2)・3・2・sin 120°
=(1/2)・3・2・(√3/2)
=3√3 / 2

V=(1/3)×(3√3/2)×1
=√3/2……②

①、②より、
(√46/6) CH=√3/2
CH=3√3 / √46
=3√138 / 46
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これをどうしろというのですか?


解き方を聞きたいのですか?

(1) △OBD=(1/2)OB・ODsinO
=(1/2)OB・OD√(1-cos²O)
=(1/2)√{OB²・OD²(1-cos²O)}
=(1/2)√{OB²・OD²-OB²・OD²cos²O}
=(1/2)√[|→OB|²・|→OD|²-{(→OB)・(→OD)}²]…①
そして →OD=(→OC)+(→CD)だから
(→OB)・(→OD)=(→OB)・{(→OC)+(→CD)}
=(→OB)・(→OC)+(→OB)・(→CD)
=(→OB)・(→OC) (∵OBとCDは直交だから内積は0)
このことから
①つづき=(1/2)√[|→OB|²・|→OD|²-{(→OB)・(→OC)}²]…②
あとは 余弦定理、三平方の定理などを駆使して
|→OB|、|→OD|、をもとめて②へ代入
内積(→OB)・(→OC)についてはcos∠BOCが求められればそれを利用
求められなければ
→OB=→OA+→OCより
(→OB)・(→OC)=(→OA+→OC)・(→OC)=(→OA)・(→OC)+|→OC|²として計算後②へ代入

(2)
3点O,B,Cを通る平面をβとし、Cを通り、βに垂直な直線とβとの交点をHとする・・・ この問題文の意味がおかしいので解くことはできない
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