「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

二次関数についてです。 

二次関数関数の最大値最小値で、定義域が変化する場合と軸に文字を含む場合はどのように場合わけをすれば良いのでしょうか?また、どうしてそうなるのか教えてください。それからどういう場合の時にどう場合わけをすればいいのか教えてください

A 回答 (3件)

定義域が変化する場合と軸に文字を含む場合を別のパターンとして覚えようとすると、


暗記することが増える。 そういうことの積み重ねが、数学を辛いものにしてしまう。
定義域の両端と中央の計3点と、軸の位置関係で場合分けすることを覚えていれば、
ひとつ覚えて、いろいろなバリエーションに対応できる。
定義域の両端&中央と、軸の位置関係が 5 通りに場合分けされる様子を、
グラフこみで覚えておこう。 そういうことが、応用問題に対処する地力となる。
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【例題(軸変化バージョン)】


aを定数とする.
0≦x≦2における関数f(x)=x^2-2ax-4aについて
(1)最大値を求めよ  (2)最小値を求めよ



まずこの手の問題は平方完成しておきます.f(x)=(x-a)^2-a^2-4aですね.
ここから軸はx=aであると読み取れます.

この式から,文字aの値が変わると必然的に軸が変わってしまうことがわかると思います.そうすると都合が悪いですから解くときは場合分けが必要になってきます.

(1) 最大値
ではどこで場合分けをするかという話ですが,(ここから先はお手元の紙か何かに書いてもらうとわかりやすいです)(1)の場合は最大値が変わるときに場合分けをする必要がありますよね.ここで重要なのは定義域の真ん中の値を確認することです.今回は1です.


この真ん中の値は最大値を決定するときに使います.もし,グラフの軸が定義域の中央値より左にあったら,必ず最大値は定義域の右側にある点ということになります.中央値よりグラフの軸が右にあったら,必ず最大値は定義域の左側にある点になります.

この問題では中央値がx=1ですから,a<1のとき,x=2で最大となります.同様にa>1のとき,x=0で最大になります.

注意が必要なのは軸がぴったり定義域の中央値に重なった時です.このときはx=0および2で最大値が等しくなりますから別で場合分けをする必要があります.

ここまでをまとめて解答を書くと,

【解答】
f(x)=(x-a)^2-a^2-4a  [平方完成]

y=f(x)としたときこのグラフは下に凸で,軸はx=a [前述したxの2乗の係数がマイナスの時は最大値の時の話と最小値の時の話がまるっきりひっくり返るというものを確認する必要がある,というものです.]

定義域の中央値はx=1である.
[1]a<1のとき
x=2で最大となるから,f(2)=-8a+4 ゆえに x=2で最大値-8a+4

[2]a>1のとき
x=0で最大となるから,f(0)=-4a ゆえに x=0で最大値-4a

[3]a=1のとき
x=0,2で最大となるから,f(0)=-4a にa=1を代入して-4 [わかっている数値はすべて代入しましょう.この場合,a=1と宣言したので]
ゆえに x=0,2で最大値-4

以上から,
a<1のとき,x=2で最大値-8a+4
a>1のとき,x=0で最大値-4a
a=1のとき,x=0,2で最大値-4

採点のポイントは,①場合分けの数値,②aの範囲,③xの値,④最大値の値です.

(2)最小値
先ほどの逆ですが,中央値を確認する必要はありません.場合分けはa<0,0≦a≦2,2<aの三種類.a<0,2<aのときはx=0,x=2のときが最小値ですし,0≦a≦2のときは頂点が最小値になります.

[1]2<aのとき
x=2で最小となるから,f(2)=-8a+4 ゆえに x=2で最小値-8a+4

[2]0≦a≦2のとき
x=a(頂点)で最小となるから,f(a)=-a^2-4a
ゆえに x=aで最小値-a^2-4a

[3]a<0のとき
x=0で最小となるから,f(0)=-4a ゆえに x=0で最小値-4a

以上から,
2<aのとき,x=2で最小値-8a+4
0≦a≦2のとき,x=aで最小値-a^2-4a
a<0のとき,x=0で最小値-4a
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まずは(定義域関係なしに)グラフを書くかイメージする


定義域が変化する場合は、定義域だけにスポットライトを当てることをイメージして、
定義域の変化に伴ってスポットライトが当たる範囲が移っていくところをイメージする(そうすれば、以下のまとめを読むまでもなく自分で場合分けの仕方に気が付くはず・・・)

で、下に突の放物線でいうなら最大値はスポットライトがあたった部分(定義域の)左端か右端のいずれかになる!・・・定義域の両端が決め手!
定義域の左端で最大値を取る場合と、右端で最大値を取る場合とで場合分けをする
(上に凸のグラフでは、最小値を考えるときに同様に定義域の両端に着目して場合分けとなる)
下に突の放物線の最小値については 定義域より右側に頂点(軸)がある場合と、定義域の中に頂点がある場合と、定義域より左側に頂点がある場合とで場合分け
(上に凸のグラフでは 最大値を考えるときに頂点と定義域の関係を意識して場合分け)

定義域が固定で 軸(頂点)の位置が文字であらわされる場合・・・定義域にのみスポットライトが当たっていると心をイメージして
想像の中で放物線グラフの軸(頂点)の位置をスライドさせてみる
すると
下に凸のグラフでいうなら先ほど述べたように、定義域の両端が決め手なので
定義域のちょうど中間点に縦線(x軸に垂直な線)を引いて
頂点がこの縦線より左にあるなら 定義域内ではその右端が頂点からより遠くなるので 定義域右端で最大を取ることがわかる
反対に頂点がこの縦線より右にあるなら 定義域内ではその左端が頂点からより遠くなるので 定義域左端で最大を取ることがわかる
ゆえに 場合分けは軸が定義域の中間点の左にあるか、右にあるかで分ける
最小については軸が定義域内にあるかないかでわける
さらに軸が定義域より左にあるなら、軸に近い定義域左端で最小
軸が定義域よりみぎになるなら軸に近い定義域右端で最小となるので
軸の位置について、定義域より左、定義域内、定義域より右で場合分け
(上に凸では 最大と最小の考え方が今述べたのと真逆となる)
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