「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

2つのバネに挟まれた物体の振動などの物理の問題です。

図1-1 のように、2つのバネと1つの質点が直列に連結している系を考える(左から,バネ1・質点・バネ2)。ここで、バネ1の左端およびバネ2の右端は壁に固定されている。質点の質量はm、バネ1,2それぞれのバネ定数は3k,kと与えられている本問題では、連結方向の並進運動のみを許容し,図1-1の矢印の向き(図右向き)を正の方向とするなお、0は原点である以下の問いに答えてください。


(1)図1-2において、(i)の自然状態から右側の壁を正の方向にlだけ静かに伸ばすと,質点の変位がyとなった状態で系が釣り合い静止した。その後、(ii)のように系を静かに床と接触させた。ここで特に断らない限り、系の状態として、両端壁は床に固定され質点と床には摩擦が存在する。

(a)(i)の状態において、lを用いて質点の変位yを表してください。

(b)(ii)の状態から、(iii)のように質点が床と接した状態で右側の壁をさらに正の方向にdだけ静かに伸ばし再び床に固定する。質点が運動せず静止する場合、k,dを用いて質点の静止摩擦力Fを表わしてください。ただし、R>0となるよう定義する。

(c)(b)の手順においてdを徐々に大きくしていくと、d<=wの条件では質点の静止状態を保てたが、d>wの条件では保てなくなった。質点と床の静止摩擦係数をμ、重力加速度をgとした時、k,m,g,μを用いてwを表して下さい。



(2)最大静止摩擦が働く状態(d=w)において、質点と床との摩擦が突然消失し質点は運動し始めた(以後、摩擦は働かない)。ここで、図1-3のように、摩擦が消失してからの時刻tを導入し、質点の変位をx(t)と定義する。

(d) x(t)およびk,m,l,g,μを用いて、質点の運動方程式を求めて下さい。必要に応じて時間t、および時間微分記号d/dtを用いて下さい。

(e) (d)で求めた運動方程式を解き、k,m,l,g,μ,tを用いて変位x(t) を表わして下さい。ここで、x(t) の最終的な表現に任意定数を含めないようにして下さい。また、求めた解より、質点は単振動として振る舞うことを示すとともに、その時の振幅,周期,平衡位置を示して下さい。

「2つのバネに挟まれた物体の振動などの物理」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • (1)
    (a) 3ky=k(l-y) 3ky=kl-ky 4ky=kl 4y=l y=(1/4)l
    (lは小文字のLです。)

    (b) 3ky+F=k(l+d-y) F=(l+d-4y)

    (c) F=μmgとして
    3ky+μmg=k(l+w-y)
    3ky+μmg=kl+kw-ky
    kw=4ky+μmg-kl
    w=(μmg/k)+4y-l
    ここまでは合っているかどうか確かめてほしいです。

    (2)
    (d)はm(d^2x(t)/dt^2)=k(l+w-x)-3x
    m(d^2x(t)/dt^2)=k(l+w-4x)
    と思ったのですが、問題文のx(t) k m l g μt d/dtの文字だけを使って表すことができないです。

      補足日時:2020/08/30 22:56

A 回答 (2件)

No.1 です。

「補足」を見ました。

>(1)
>(a) 3ky=k(l-y) 3ky=kl-ky 4ky=kl 4y=l y=(1/4)l
>(lは小文字のLです。)

合っています。

>(b) 3ky+F=k(l+d-y) F=(l+d-4y)

(問題文は「ただし、R>0となるよう定義する」ではなく「F>0」ですね?)

これでは不完全。しかも最後の式では「k」が抜けている。
(a) から y=(1/4)L なので
 F = kd    ①

>(c) F=μmgとして
>3ky+μmg=k(l+w-y)
>3ky+μmg=kl+kw-ky
>kw=4ky+μmg-kl
>w=(μmg/k)+4y-l

「F=μmgとして」は、「最大静止摩擦力をF=μmgとすれば」ということですね?
①から
 μmg = kw
より
 w = μmg/k   ②
です。

あなたの式で y=(1/4)L とすればそうなりますね。
(ただし、問題文には y を使ってよいと書いてないので、このように置き換えて整理した結果を書かないといけません。y は未知数ではなく (1) で既知数になているのですから)

>(2)
(d)はm(d^2x(t)/dt^2)=k(l+w-x)-3x
m(d^2x(t)/dt^2)=k(l+w-4x)
と思ったのですが、問題文のx(t) k m l g μt d/dtの文字だけを使って表すことができないです。

運動方程式を立てる前に、きちんと「働く力」を整理しないといけません。
図1-2 (i) をつり合いの位置とすると、図1-3 最下図の状態では
・左のばねの復元力:Fa = -3kx (左向き)
・右のばねの復元力:Fb = k(L + w - x)  (右向き)
合力は
 F = Fa + Fb = -3kx + k(L + w - x) = k(L + w - 4x)
従って、運動方程式は
 m*d²x/dt² = k(L + w - 4x)
      = k(L + μmg/k - 4x)  ←②を使って w を置き換え     ③

「d²x/dt²」は「d(dx/dt)/dt」のことですから、問題文の「x(t)およびk,m,l,g,μを用いて」「必要に応じて時間t、および時間微分記号d/dtを用いて」を満足すると思いますよ。

(e) ③は
 d²x/dt² + (4k/m)[x - L/4 - μmg/(4k)] = 0    ④
という「2階微分方程式」です。
このとき方は分かりますね?

u = x - L/4 - μmg/(4k)
とおけば
 d²x/dt² = d²u/dt²
ですから、④は
 d²u/dt² + (4k/m)u = 0   ④'
となります。要するに「ばね定数 k のばねと、ばね定数 3k のばね」を合成した「ばね定数 4k のばね」の振動ということです。

④' の一般解は(解き方は省略)
 u = C1*sin(ωt) + C2*cos(ωt)
(ω = √(4k/m) = 2√(k/m)、C1, C2 は任意の定数)
となります。
u を元に戻せば
 x = C1*sin(ωt) + C2*cos(ωt) + L/4 + μmg/(4k)    ⑤

初期条件から、t=0 のとき x=y=(1/4)L なので
 x(0) = C2 + L/4 + μmg/(4k) = (1/4)L
→ C2 = -μmg/(4k)
よって⑤は
 x = C1*sin(ωt) - [μmg/(4k)]*cos(ωt) + L/4 + μmg/(4k)   ⑤'

かつ、
 v = dx/dt = C1*ω*cos(ωt) + [μmg/(4k)]*ω*sin(ωt)
で、t=0 のときに静止状態から動き出したので v(0)=0 であることから
 v(0) = C1*ω = 0
→ C1 = 0
よって⑤'は
 x = -[μmg/(4k)]*cos(ωt) + L/4 + μmg/(4k)
  = L/4 + [μmg/(4k)][1 - cos(ωt)]       ⑤''

これが求める解であり、
・振幅:μmg/(4k)
・周期:T = 2パイ/ω = パイ√(m/k)
・平衡位置(振動の中心位置):L/4 + μmg/(4k)
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あなたはどこまでできて、どこまで自信があって、その上で何が・どこが分からないのですか?



内容からすると大学の力学かと思いますが、微積分は使えますか?
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