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数学 線形代数 ベクトル 正誤を見てほしいです。

x,y,zを3次元直交座標系、i,j,kを実三次ユークリッド空間の正規直交基底とする

任意の三次元ベクトルAにおいて(∇×A)・Aを求めよ
∇=( d/dx d/dy d/dz )
A=(x,y,z)とする  

∇×A=| i j k |
|d/dx d/dy d/dz |
|x y z|
=(0,0,0)

(∇×A)・A=(0,0,0)・(x,y,z)=0

X=(xi+yj+zk)/((x^2+y^2+z^2)^(3/2)) このベクトルの発散と回転を求めよ

見辛くなるので((x^2+y^2+z^2)^(3/2))=aと便宜上置きます。
計算時はしっかりと((x^2+y^2+z^2)^(3/2))=aとは置き換えずに計算しました。

発散
∇・X=(-2i/a)+(-2j/a)+(-2k/a)

回転  

∇×X=| i j k |
|d/dx d/dy d/dz|
|x/a y/a z/a|
=(0-0)i+(0-0)j+(0-0)k
=0

A 回答 (1件)

まず最初の質問はA=(x,y,z)と置いているのがおかしい。

Aは任意のベクトル場、という条件を満たさない。A=(Ax,Ay,Az) (Ax,Ay,Azはx,y,zの任意の関数)としなければならない。

発散はベクトルではなくスカラーです。i,j,kは残りません。というよりもi,j,kが残らないように計算しないと分子にx,y,zが残るはずです。(1/aを偏微分した際に出てくる)

回転は0になるにしても計算がおかしい。0-0ではない。∂(1/a)/∂xは0ではないですよ。
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