「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

位相空間 C(複素平面)上のある領域Uに対してそれに含まれる閉曲線γを考える。 このとき、γはコンパクトで、U^c(Uの補集合)は閉集合だから、d(γ,U^c)>0ということなのですが、コンパクト性、閉集合がどこで効いているのでしょうか?(図を描いてみるとd(γ,U^c)=inf{d(x,y)❘x∈γ,y∈U^c}=0は明らかに思えますが)

A 回答 (3件)

Uは開集合だから


Uの任意の点a∈Uに対して
ε(a)>0
が存在して
B(a,ε(a))={x∈C;d(x,a)<ε(a)}⊂U
となる

γ⊂U=∪_{a∈U}B(a,ε(a)/2)
だから
{B(a,ε(a)/2)}_{a∈U}

γの開被覆で
γはコンパクトだから
有限開被覆
{B(a_k,ε(a_k)/2)}_{k=1~n}
a_k∈U
が存在して

γ⊂∪_{k=1~n}B(a_k,ε(a_k)/2)

ε=min_{k=1~n}ε(a_k)/2
とする
d(γ,U^c)=0
と仮定すると
y∈U^c
x∈γ
d(x,y)<ε
となるx,yがある
d(x,a_k)<ε(a_k)/2
となるkがある
d(y,a_k)≦d(x,y)+d(x,a_k)<ε+ε(a_k)/2≦ε(a_k)
d(y,a_k)<ε(a_k)
だから
y∈B(a_k,ε(a_k))={x∈C;d(x,a_k)<ε(a_k)}⊂U
y∈U
となって
y∈U^c
に矛盾するから
d(γ,U^c)>0
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この回答へのお礼

ありがとうございます、解決できました

お礼日時:2020/09/06 20:58

問題の前提が...


γがコンパクトだとは限らないように読めるけど?
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この回答へのお礼

ありがとうございます、解決できました

お礼日時:2020/09/06 20:58

領域U


U^c(Uの補集合)は閉集合だから、
d(γ,U^c)>0

領域は連結開集合
の意味でしょうが、その補集合は閉集合になります。
もし、補集合が開集合になる場合として、

Uが領域ではなくて、閉領域
たとえば単位円の周を含めた内側。
のときは、Uの補集合は開集合になります。
このとき、
閉曲線Yとして、単位円の円周を考えると、
d(γ,U^c)=0
となって、
d(γ,U^c)>0
は成立しません。

コンパクトの方は、
本にある証明をもう一度見直してみてください。

Uが開集合で、その補集合は閉集合
Uのなかの閉曲線がコンパクト。

曲線上の点で、Uの補集合に限りなく近づいてしまうものがあると
困ります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます、解決できました

お礼日時:2020/09/06 20:59

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