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1.全ての自然数nについて e^x > x^n+1/(n+1)!(x≧0)であることを数学的帰納法を用いて示せ。

ちなみに前問でe^x>x^2/2を示しました。

2.各自然数nについてlim x→∞x^n/e^x=0を示せ。ただしロピタルの定理を用いてはならない。


以上の2問を教えていただけますでしょうか。

A 回答 (3件)

1.


n=1のとき
e^x>x^2/2 であるが、これは成立することは前問で示した。

n=kのとき e^x>{x^(k+1)}/(k+1)!であるならば、・・・①
n=k+1のとき e^x>{x^(k+2)}/(k+2)!が成立するかを調べる。

f(x)=e^x-{x^(k+2)}/(k+2)!とおくと、
f'(x)=e^x-x^(k+1)/(k+1)!であり、これはn=kの時の式に他ならない。そして、①の仮定により、f'(x)>0のはずなので、f(x)は単調増加であり、f(0)=e^0-0=1>0
よって、全ての自然数nについて、e^x > {x^(n+1)}/(n+1)!(x≧0)であることが示された。

2.
e^x > {x^(n+1)}/(n+1)!より、両辺の逆数を取って
0< 1/e^x < (n+1)!/{x^(n+1)}
x^n(>0)を各々にかけて
0<x^n/e^x<{(x^n)・(n+1)!}/{x^(n+1)}=(n+1)!/x
x→∞のときは (n+1)!/x→0になるので、挟み撃ちの原理により、lim(x→∞) x^n/e^x=0 が示された。
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←No.1 補足


1.
e^x をマクローリン展開すれば e^x = Σ[k=0→∞] (x^k)/k! であり、
右辺の級数は、収束半径 ∞ で広義一様収束する。
Σ の各項は x≧0 のとき正である。 よって、e^x > (x^k)/k。
k = n+1 のとき e^x > (x^(n+1))/(n+1)! となる。
こうやれば、チマチマ帰納法を使う必要はない。
やりたければ、帰納法でやればよいが。

2.
同様に k = n のとき e^x > (x^n)/n! なので、
0 < (x^n)/e^n < 1/n! である。
各辺の n→∞ の極限をとれば、
0 ≦ lim[n→∞] (x^n)/e^n ≦ lim[n→∞] 1/n! = 0.
ハサミウチの定理により
lim[n→∞] (x^n)/e^n = 0.
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1. 2. を見れば、普通は e^x のマクローリン展開を使おうと思う。


わざわざロピタルの定理のようなものを使う理由はないが、
「数学的帰納法を用いて示せ」「ただしロピタルの定理を用いてはならない」
などの指定は、あまりにセンスが無くて出題者の良識を疑う。
朱に交わると紅くなると言う。馬鹿な教授と関わりあって、
媚びて単位を貰おうと思ってはいけない。信念と矜持を以って、
その講座は放棄し、来年別の講座をとろう。
出題内容の良否について、教務部と掛けあってもよいかもしれない。
大切なこと:「朱に交わると紅くなる」
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この回答へのお礼

めっちゃ言いますねw

これは某大学の編入学試験の問題です。ここを受けるわけではないんですけどね。
マクローリン展開であればどう解答されますか?

お礼日時:2020/09/09 17:19

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