次の3つ微分方程式はどのように解けばよいのですか?
出来ればそれぞれの微分方程式の名前も教えてください
(1)y'=(1+x+3y)^2
(2)(x^2+y^2-a)(x+yy')=2xy(y-xy')
(3)2xy^2y'+y+y^3=2(1+y^2)y'

A 回答 (5件)

(2)について


z=x*x+y*y
z'=2x+2y*y' の2式で変形して z とx の完全微分形を
 作ればよいでしょう。
なお、その際に積分因子は、zの関数で、これ以上は、おせっかいじゃないな?、
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blue_monkeyです。


(2)の問題を検討してみましたが、右辺の式が

2*x*y*(y-x*(d/dx)y)

ではなく

2*x*y*(y+x*(d/dx)y)

と第二項の符号がプラスなら、(3)の微分方程式と同様に、じっとにらむと解けるようですが、マイナスだとうまく解けませんでした。
他の人、take-yuさんの回答に期待しています。
誤解があったらゴメンナサイ。
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blue_monkeyです。


No2のアドバイスで一部誤記がありましたので修正させていただきます。
****************修正前の文章****************************
「(d/dx)(x*(1+y*y))=2*(1+y*y)/y*(d/dx)y   (4)

(4)式の左辺をじっとにらむと、左辺は(5)式で表現できることがわかります。 」

の文章中に誤記があります。
*****************修正後の文章***************************
「(4)式の右辺をじっとにらむと、右辺は(5)式で表現できることがわかります。」

に修正して読み直していただければ幸いです(左辺→右辺に修正)。

ご迷惑おかけしました。
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初めまして。

blue_monkeyと言います。
(3)の微分方程式について考えてみましたので、ご参考までの記述させていただきます。
************************************************************
************************************************************
(3)の微分方程式を以下のように記述させていただきます。

2*x*y*y*(d/dx)y+y+y*y*y=2*(1+y*y)*(d/dx)y (1)

(1)の微分方程式を解くため以下の関係式に注意します。

y*(d/dx)(x*(1+y*y))=y+y*y*y+2*x*y*y*(d/dx)y (2)

(2)式を(1)式の左辺に代入すると、

y*(d/dx)(x*(1+y*y))=2*(1+y*y)*(d/dx)y   (3)

y≠0として、(3)式の両辺をyで割りますと、

(d/dx)(x*(1+y*y))=2*(1+y*y)/y*(d/dx)y   (4)

(4)式の左辺をじっとにらむと、左辺は(5)式で表現できることがわかります。

(d/dx)(2*(ln(y)+y*y/2)) (5)

(5)式を(4)式の右辺に代入すると

(d/dx)(x*(1+y*y))=(d/dx)(2*(ln(y)+y*y/2)) (6)

(6)式をxについて積分すれば、微分方程式の解は、(7)のように求まります。

x*(1+y*y))=2*(ln(y)+y*y/2)+C0 (7)

C0は積分定数で任意の定数です。


微分方程式の名前については、わかりません。ゴメンナサイ。

誤記、誤計算、誤解がありましたらゴメンナサイ。 
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積分してあげましょう。

この回答への補足

(1)は解けました
(2)と(3)は適当な置換をすると解けるタイプでしょうか?

補足日時:2001/08/16 00:04
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このtは(3)の中に入っている。

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となり、左右を入れ替えて
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ですね。

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(x+y) = (√5+2) + (√5-2) = 2√5
(x+y)^2 = (2√5)^2 = 2*2 * 5 = 20

2xy = 2*(√5+2)(√5-2) = 2*(5 - 2*2) = 2

よってx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 20 - 2 = 18
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