量子力学における角運動量の問題です。

J^(μν), P^μは、ポアンカレ群のgenerator で、
i[J^(μν), J^(ρσ)]=η^(νρ)J^(μσ)-η^(μρ)J^(νσ)-η^(σμ)J^(ρν)+η^(σν)J^(ρμ),
i[P^μ, J^(ρσ)]=η^(μρ)P^σ-η^(μσ)P^ρ,
[P^μ, P^ρ]=0
を満たすものとする。ただし、(η^(μν))は対角行列で、η^(00)=-1, η^(11)=η^(22)=η^(33)=1である。
Weinbergの"THE QUAMTUM THEORY OF FIELDS"によると、J_3=J^(12)の行列表示が、
(0 1 0 0)
(-1 0 0 0)
(0 0 0 0)
(0 0 0 0)
となります。(Volume 1 の71ページ) このように行列表示されるためには、どのようなブラとケットを用いればよいでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  J_3=J^(12)の行列表示は
  (0 -i 0 0)
  (i 0 0 0)
  (0 0 0 0)
  (0 0 0 0)
  の間違いでした。

    補足日時：2020/09/16 18:31

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2020/09/13 17:13

少しだけ補足。

最初に状態ベクトルたちで内積をとって作る行列要素という話に疑問を持ったのは、お書きの行列がエルミート行列ではない事が主な理由です。
この意味の行列要素である事に自信がありそうなので、私が想像しているJと、そこでいうJが別物なのかな、と思っていましたが、やっぱりなんかおかしい気がします。

Jがエルミートでないのなら
> U(1+ω, ε)=1+(1/2)iω_(ρσ)J^(ρσ)-iε_ρP^ρ+・・・
このUがユニタリにならないので。
かなり昔に読んだ記憶なのであやふやな部分がありますが、このUはローレンツ変換(+並進)で状態ベクトルがどう変わるか決めるユニタリ演算子ですよね？

Jたちにはエルミートという条件はないのか、その行列表示はエルミートではない行列で良いのか、もう一度確認された方が良いように思います。(私の勘違いだったらすいません)

この回答へのお礼

J_3=J^(12)の行列表示は
(0 -i 0 0)
(i 0 0 0)
(0 0 0 0)
(0 0 0 0)
の間違いでした。

お礼日時：2020/09/16 18:32

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2020/09/13 13:51

すいません、書き方が良くなかったですね。

前後といっても少し引用するくらいでは多分足りそうにないので、本がないので力になれないという意図でした。

引用されるのなら、最低限
「この記述を、J_3=J_12の行列表示が質問のようになる、という意味で解釈した」
という部分を書いて貰わないと何も言えません。
その部分を引用したつもりであるのなら、私には行列表示についての話は何も書かれてはいないように見えます。
もっとも、J_3という記号はJ_12(もしくはJ^12?)を書き換えたのかと思ってましたが、そその記述を見る限り、J_3はJ_12とは別に定義されているように見えるので、定義如何に
よっては行列表示を述べた事になるのかもしれません。
あるいは「以前と同じように」とあるので、以前行列表示の話をしていて、それと同じだから行列表示の話をした事になったりはする余地は一応ありますが。

いちいちそう言う事まで書いてたらキリがないので、冒頭に書いたように本が手元にないと答えるのは難しそうだな、というのが正直な所です。(まぁ、大変なのは私ではないのでこのまま続けるのを私からは止めませんが)

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2020/09/12 15:56

なら、全体の文脈が分からないと答えられなさそうですね。

。。

この回答へのお礼

日本語版の前後の文は以下のようになります。

「不変な可換部分群を持たない群は幾つかの簡単な性質を持っている。そのため、これらの群は半単純(semi-simple)と呼ばれる。これまでに見たように、小群ISO(2)は非斉次ローレンツ群と同じく、半単純ではない。このため、事情は複雑になって、興味深いことが起きる。最初にISO(2)のリー代数を調べる。θ, α, β が微小のとき、一般的な群の元は、
W(θ, α, β)^(μ)_ν=δ^(μ)_ν+ω^(μ)_ν,
ω_(μν)= (0 θ -α α)
(-θ 0 -β β)
(α β 0 0)
(-α -β 0 0)
となる。(2.4.3)から、対応するヒルベルト空間の演算子は以下であることがわかる。
U(W(θ, α, β))=1+iαA+iβB+iθJ_3.
ここで、AとBはエルミート演算子、
A=-J^(13)+J^(10)=J_2+K_1,
B=-J^(23)+J^(20)=-J_1+K_2,
であり、以前と同じように、J_3=J_(12)だ。」
(2.4.3)式は
U(1+ω, ε)=1+(1/2)iω_(ρσ)J^(ρσ)-iε_ρP^ρ+・・・
です。ただし、ω_(σρ)=η_(μσ)ω^(μ)_ρ であり、ω_(μν)=-ω_(νμ)です。

お礼日時：2020/09/13 08:58

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2020/09/12 10:15

ブラ/ケットとは場の状態を指定するベクトル(基底)について聞かれていますか？

本がないので文脈が分かってませんが、Jの表現(つまり、交換関係満たす行列)についての話ではないんですかね？

この回答へのお礼

はい、場の状態を指定するベクトル（基底）についてです。Jの表現についての話ではありません。

お礼日時：2020/09/12 12:12