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関数 f(x)=2のx−1乗  について, 次の定積分の値はどれか.  
∫12(f(x)+xf′(x))dx

答えは3なのですが、やり方がわかりません‼️
教えてください❗️

「関数 f(x)=2のx−1乗 について,」の質問画像

A 回答 (2件)

f(x)=(1/2)・2^x


f'(x)=(1/2)・(2^x)log2
定積分=(1/2)∫(2^x)+x・(2^x)log2dx ・・・以下、積分区間省略
=(1/2)∫(1+xlog2)(2^x)dx
=(1/2)∫(1+xlog2){(1/log2)(2^x)}'dx
=[(1/2)(1+xlog2){(1/log2)(2^x)}]-(1/2)∫(1+xlog2)’{(1/log2)(2^x)}dx  ←←←部分積分
={(1/2)(1+2log2)(1/log2)(2^2)-(1/2)(1+log2)(1/log2)(2)}-(1/2)∫(2^x)}dx
=(1/2)(1/log2)・2{(1+2log2)2-(1+log2)}-[(1/2)(1/log2)(2^x)]
=(1/2)(1/log2)・2{(1+2log2)2-(1+log2)}-{(1/2)(1/log2)(2^2)-(1/2)(1/log2)・2}
=(1/2)(1/log2)・2{(1+2log2)2-(1+log2)-2+1}
=(1/2)(1/log2)・2{3log2}
=3
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積の微分法則 { x f(x) }’ = f(x) + x f’(x) から


∫(f(x) + x f’(x))dx = x f(x) + C = x 2^(x-1) + C. ;Cは定数
積分範囲が 1 ≦ x ≦ 2 なら、
答えは 2・2^(2-1) - 1・1^(1-1) = 4 - 1 = 3.
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