数学 添付画像の図において、三角形ADCの面積を求めるときの解き方で質問があります。 解き方① 三角

数学

添付画像の図において、三角形ADCの面積を求めるときの解き方で質問があります。

解き方①
三角形ADCで余弦定理→ADを求める。
AD=(3±3√6)/2となり、(3-3√6)/2は不適。
1/2×AD×AC×sin60°で面積を求める。
答え
(9√3+27√2)/8


基本的にはこの解き方だと思うのですが、以下の解き方②でも解くことができますよね？

解き方②
三角形ABCにおいて余弦定理→cosBを求める。
cosB=√6/3
円周角の定理より、cosD=√6/3
三角形ADCにおいて余弦定理→ADを求める。
AD=(3√6±3)/2



ここから三角形ADCの面積を求めるのですが、解き方①と解き方②ではADの長さが違います。
(解き方①のADが正解です。)

なぜこのようなことが起きるのかわかりません。

解き方②は解き方①より遠回りなので、わざわざ解き方②で解く必要はないと思いますが、解き方②でもADの長さは求めることができると思います。

なぜできないのか、また、もし解くことができるのならば、途中式を書いてください。

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• AB=5
  AC=3
  DC=9/2
  BC=2√6
  です。
  分かりにくくてすみません。

    補足日時：2020/09/12 20:56

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/09/12 23:24

どちらの解き方も余弦定理を利用して解いていますので、ｘの2次方程式を解くことになります。

解き方①
x=(3±3√6)/2 , x=(3-3√6)/2 は不適により、x=(3+3√6)/2

解き方②
x=(3√6±3)/2 , x=(3√6-3)/2 は不適により、x=(3√6+3)/2=(3+3√6)/2

①では、x=(3-3√6)/2<0 なので不適であることは分かりやすかったですが、
②の x=(3√6-3)/2 が不適の理由は次のようになります。

点Cを中心として半径 CA＝3 の円をかきます。その円と線分ADとの交点（Aとは別の点）をA'とします。
このとき、△A'DC において、A'D=x , A'C=3 , DC=9/2 , cosD=√6/3
余弦定理を利用してできる2次方程式は②と同じものになります。
AD>A'D , (3√6+3)/2>(3√6-3)/2 より、A'D=(3√6-3)/2。 よって、②の x=(3√6-3)/2 は不適です。

No.2 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/09/12 23:13

解き方②は∠DAC=60°の条件を使っていません。

Cを中心に半径9/2の円を書いてください。
円周上に2つの交点ができませんか。
ひとつは弧BCのあいだの図のDです。
もうひとつは弧ABのあいだです。
それが∠DAC=120°になるAD=(3√6-3)/2のときです。
図のようにDが弧BCの間になければいけないのなら、
∠ACD>∠ACB、DC>AC、CD=9/2より、5<ADの条件がつきます。
(3√6-3)/2=(3×√2×√3-3)/2=(3×1.414×1.732-3)/2≒2.17で不適です。
(3√6+3)/2≒5.17で適です。

高校受験生なら、CからADへ垂線CPをおろして∠CAP=60°CA=3からAP=3/2、CP=(3√3)/2、CD=9/2から△CPDで三平方でPDを求めて、AD=AP+PDで求めます。底辺ADと高さCPが求まったので面積も求まります。

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/09/12 21:33

>以下の解き方②でも解くことができますよね？

出来ないです。cosB=cosD　ACが共通というだけで、他のAB、BC、AD、DC　の値が全く異なります。
円周角の定理は使ってはいけないです。

余弦定理を使うなら
AC^2=AD^2+DC^2-2･AD･DC･cosD　で解かないと同じ面積の三角形になりません。

例えば円周角の定理が使えるのなら、ABが限りなく0に近い三角形=BCが限りなくACに近い三角形　←　面積が限りなく0に近い三角形ですよね？。
でも同じ面積になってしまいます。