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高校数学です。
これらの対数の性質の教科書の証明は読めばわかるのですが、証明の仕方を直ぐに忘れてしまいます。
素朴な発想の証明の仕方をご存知の方がいらっしゃいましたら、その方法を教えて下さい。

「高校数学です。 これらの対数の性質の教科」の質問画像

A 回答 (3件)

「読めばわかる」のなら、読んだ後に 教科書を閉じて


分かったことを 紙に書いてみて下さい。
全部書くことが出来たら、本当に分かった と云う事です。
書けなかったら、分かった心算になっているだけです。
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その証明は、logの定義と指数法則を使うだけのことで、それこそが素朴な発想。


それ以外の証明法なんてない。
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x=log_a(P)


とすると対数の定義から
P=a^x
y=log_a(Q)
とすると対数の定義から
Q=a^y
↓これをP=a^xにかけると
PQ=(a^x)(a^y)
↓指数法則から(a^x)(a^y)=a^(x+y)だから
PQ=a^(x+y)
↓対数の定義から
x+y=log_a(PQ)
↓x+y=log_a(P)+log_a(Q)だから

log_a(P)+log_a(Q)=log_a(PQ)

P=a^xをQ=a^yで割ると
P/Q=(a^x)/(a^y)
↓指数法則から(a^x)/(a^y)=a^(x-y)だから
P/Q=a^(x-y)
↓対数の定義から
x-y=log_a(P/Q)
↓x-y=log_a(P)-log_a(Q)だから

log_a(P)-log_a(Q)=log_a(P/Q)

P=a^x
↓両辺をk乗すると
P^k=(a^x)^k
↓指数法則から(a^x)^k=a^(kx)だから
P^k=a^(kx)
↓対数の定義から
log_a(P^k)=kx
↓k=log_a(P)だから

log_a(P^k)=klog_a(P)

x=log_a(b)
とすると対数の定義から
b=a^x

y=log_c(a)
とすると対数の定義から
a=c^y
↓これをb=a^xに代入すると
b=(c^y)^x
↓指数法則から(c^y)^x=c^(xy)だから
b=c^(xy)
↓対数の定義から
xy=log_c(b)
↓xy={log_a(b)}{log_c(a)}だから
{log_a(b)}{log_c(a)}=log_c(b)
↓両辺をlog_c(a)で割ると

log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)
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