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下記のような関数の微分には微分の商の公式を利用して解くことは出来ませんか?
  f(x)=1/(xΛ2+x+1)Λ3
利用できないとしたらその理由も教えてください.よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

  • HAPPY

    後期高齢者です。いま微分を勉強中です。生きていれば2022年に大学を
     再受験しようと年金を学費にしようと貯め込んでいます。(笑)

      補足日時:2020/09/14 20:24

A 回答 (8件)

利用できますよ


ただし、指数法則の応用で
1/(xΛ2+x+1)Λ3=(x²+x+1)⁻³ とみなして微分すると、商の公式の暗記を必要としないので多くの人は商の微分公式でやるより
この形で「合成関数の微分法」を採用しがちだと思います

ちなみにこの方法で微分するなら
t=(x²+x+1)とおくと
dt/dx=2x+1
f(x)=(x²+x+1)⁻³=t⁻³
解説の便宜上y=f(x)とおけば
y=t⁻³
dy/dt=(t⁻³)'=-3t⁻⁴
ここで、定理:dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)より  (←←←これが合成関数の導関数と呼ばれるものです)
f'(x)=y'=dy/dx
=(dy/dt)(dt/dx)
=-3t⁻⁴・(2x+1)
=-(3/t⁴)(2x+1)
=-3(2x+1)/(x²+x+1)⁴
が得られます
(なれるとこのような置き換えをしないでも簡単に合成関数を微分することが可能になります・・・今回はその方法については割愛)

商の微分公式(分子が1バージョン):(1/V)'=-V'/V² を利用なら
V=(x²+x+1)³として
V'=3(x²+x+1)²(x²+x+1)’=3(x²+x+1)²(2x+1)だから
f'(x)=(1/V)'
=-V'/V²
=-V'/(V・V)
=-3(x²+x+1)²(2x+1)/{(x²+x+1)³・(x²+x+1)³}
=-3(2x+1)/(x²+x+1)⁴
が得られます
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この回答へのお礼

何度も読み返して理解しつつあります。(笑) 関数の商の微分の分子1バージョンを初めて知りました。---分子が1の場合はそうなるのですね。すなわち分子が1の時は分母を二乗して微分の分母とし、分子には分母にある関数を微分すればいいのですね。これでよければ今一度、回答お寄せ頂きたいと
思います。お手数ですがよろしくお願いいたします

お礼日時:2020/09/14 21:54

お礼にあった「それでは3.4と多くの数を考える関数の領域はありますか?」と言うのが例えば「1つのxの値に対して3つや4つのyの値が対応する関数はあるか」と言う意味だとすればもちろん「あります」と言う回答になります。

先の回答に書いたのと同様にそれぞれ3価関数、4価関数と言いますし、またたくさんの数のyが対応したりする関数を多価関数と言います。
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現役の学生ではなくて年配の方が勉強し直されているようなので関数についてもう少し。




関数と言うと普通は

y=ax+b

のような

y=f(x)…①

と言う形のものを思い浮かべると思いますが、関数には

x^2+y^2=r^2

のような

f(x,y)=a…②

と言う形のものもあります。①式のような形の関数を陽関数、②式のような形の関数を陰関数と言います。


それから質問者様は恐らく「関数は1つの数に1つの数を対応させる」みたいに習ったと思いますが、1つの数に対して2つ以上の数が対応する場合もあります。1つの数だけが対応する関数を1価関数、2つの数が対応する関数を2価関数と言ったりします。
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この回答へのお礼

それでは3.4と多くの数を考える関数の領域はありますか?

お礼日時:2020/09/21 13:14

質問の疑問は片が付いたようなのでお礼の中のコメントに対して少し。




質問者様が高校の頃に習ったと言う「箱の中にある数をインプットすると一定の法則により違う数がアウトプットされる装置」と言う関数の概念は現在も全く変わっていません。「函数」ではなくて「関数」と言う書き方に変わりましたが、関数の概念自体は昔も今も変わりありません。
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>最後にvarietyknwledge の名前はどんな由来なんですか。



意味は「雑多な知識(雑学)」です。
実態は知識というほど立派なものではありません。
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この回答へのお礼

名前了解しました。今後は百科ならぬ「千科辞典」殿 と呼ばせて下さい。
 今後ともご指導ください。なお、老生が高校で数学を学習した頃は関数
と書かないで函数と書いていました。箱 (函) の中にある数を入力すると
 違う数が出力される という意味だからと指導されました。なるほどと
思った60年前の青春時代でした。

お礼日時:2020/09/15 07:12

関数の商の微分の分子1バージョンを初めて知りました。

---分子が1の場合はそうなるのですね。すなわち分子が1の時は分母を二乗して微分の分母とし、分子には分母にある関数を微分すればいいのですね
>>>その通りです、ただしマイナスをつけ忘れずに
分子が1バージョンは教科書、参考書に普通に載っていますからご確認を
また、知らなくても
(u/v)'=(u'v-uv')/v²にu=1とすれば 
u'=(1')=0 ←←←定数の導関数は0
ですから
(u/v)'=(u'v-uv')/v²  → (1/v)'=(0・v-1v')/v²=-v’/v²は導き出せます

なお導き出さなくても
u=1 v=(xΛ2+x+1)Λ3とおいて
(u/v)'=(u'v-uv')/v² に当てはめてしまえば結局は 分子1バージョンを利用したのと同じことになります
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この回答へのお礼

丁寧な説明を頂き感謝します。特にマイナスをつけること忘れるところでした。60年前の老生が高校の頃は関数と書かない で函数と書き、箱 (函) の中にある数をinputすると一定の法則により違う数がoutput される、装置である指導されました。山岳部に入り生意気盛りの青春時代でした。最後になりましたがmasterkotoの由来を是非教えてください。こと師匠
 こと達人、こと名人 などが浮かびます。ことは名前由来と確信してますが---お教えのほど 回答を待っています。

お礼日時:2020/09/15 07:24

>早速の回答をお寄せいただき感謝しております。

今後ともご指導のほど

すみません、マイナスをつけるのを忘れていました。

g(x)=(x^2 + x + 1)^3とすると、商の微分は、

f'(x)=-g'(x)/(g(x))^2

f'(x)=((x^2 + x + 1)^3)'/((x^2 + x + 1)^3)^2
=-3((x^2 + x + 1)^2)(2x+1)/(x^2 + x + 1)^6
=-3(2x+1)/(x^2 + x + 1)^4
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この回答へのお礼

老生は商の公式でない方法で最初に解きましたが、商の公式でやると違う解答になってしまましたので質問したのです。その過ちの原因は笑うしかないのですが (x^2 + x + 1)^3)^2 の計算を (x^2 + x + 1)^3)^9としていたのです。どうも50年前に学習したことが所々でミスが出るようです。さて、最後にvarietyknwledge の名前はどんな由来なんですか。老生は多様なる知識---生き字引、百科事典 とでも邦訳したいと思ってますが 再度回答をお願いします。

お礼日時:2020/09/14 22:10

g(x)=(x^2 + x + 1)^3とすると、商の微分は、



f'(x)=g'(x)/(g(x))^2

f'(x)=((x^2 + x + 1)^3)'/((x^2 + x + 1)^3)^2
=3((x^2 + x + 1)^2)(2x+1)/(x^2 + x + 1)^6
=3(2x+1)/(x^2 + x + 1)^4
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この回答へのお礼

早速の回答をお寄せいただき感謝しております。今後ともご指導のほど

お礼日時:2020/09/14 21:43

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