大学数学 線形代数

n 次正方行列 A のある行またはある列のすべての成分が 0 ならば |A| = 0 であること

を示すにはどう説明するべきでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/18 14:48

行列式は、各行や各列について線型なので、

零ベクトルであるような行または列があれば
値は 0 になります。

計算で説明するなら、ｎ 次行列の
ひとつの行または列をスカラー c 倍した行列
の行列式はもとの行列式の c^n 倍になるので、
c=0 の場合を考えれば |A|=0.

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/09/18 17:24

①その列で行列式を余因子展開すると０になる。

②行列式は
行列式=Σ{ある関数×(各列から1個ずつ要素を選び掛け合わせたもの)}
という格好をしているので、全ての項が0になる。

③多重線形性から、任意の列を c 倍すると行列式は c 倍になるから
c=0 なら 行列式は0