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g(x)g'(x)の積分はどうやるんですか?

A 回答 (2件)

素直な人は部分積分するんじゃなかろうか。


公式
  ∫fg’ dx = fg - ∫f’g dx …(1)
でf=gにすれば
  ∫gg’ dx = g^2 - ∫g’g dx
つまり
  ∫gg’ dx = g^2 - ∫gg’ dx …(2)
を得る。

 だから
  2∫gg’ dx = g^2
かな? と、うっかりやっちゃいそうなところだ。

 けれど、いやいや、「gg’ の原始関数がH(x)だ」ということの意味は、「Hは
  dH/dx = gg’
を満たせばなんでもいい」ということであり、だからこそ積分定数ってものが現れるんだった。
 そういう訳で、(2)の両辺の積分は確かに同じ積分なのだけれども、積分定数までもが一致するとは限らない。つまり(2)は
  H(x)+C1 = g^2 -(H(x)+C2)
ということであって、
  2H(x) = g^2 - (C1+C2)
なので、改めて C= -(C1+C2)/2 だと思えば
  H(x) = (g^2)/2 + C
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置換積分する。



y = g(x) と置くと、
∫g(x)g’(x)dx = ∫y(dy/dx)dx = ∫ydy = (1/2)y^2 + C ;Cは定数
= (1/2)( g(x) )^2 + C.
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