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任意のn(自然数)に対してS^(n-1)がR^n\{0}の変位レトラクトであることを示していただきたいです。

A 回答 (1件)

X=R^n-{0}


A=S^(n-1)
I=[0,1]
とする
X上の関数fを
f(x)=x/|x|
と定義すると
|f(x)|=|x|/|x|=1だから
f(x)∈A
だから
f:X→A
は連続で
x∈Aの時
|x|=1だから
f(x)=x/|x|=x
だから
AはXのレトラクトで
fはレトラクションである

X×IからXへの関数Fを
F:X×I→X
F(x,t)=(1-t)x+tx/|x|
と定義すると
F(x,0)=x
F(x,1)=x/|x|=f(x)
Fは連続だから
X上の恒等写像
1_X

レトラクション
f

ホモトープ
f~1_X
だから
A=S^(n-1)はX=R^n-{0}の変位レトラクトである
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございました‼︎
助かりました

お礼日時:2020/09/22 13:39

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