マルシェル新規登録で5000円分当たる

【数学Ⅲ/積分の計算】
Q.積分初学者です。
  先日、
   ∫[0→½—] 1/√(1-x²) dx
  の計算を、三角関数を利用して解くといった授業を受け
  たのですが、その際に、
   f(x)=x/√(1-x²)
  ならば難易度が低いと解説を受けました。
  具体的にどのような解法で解けるから比較的簡単なのか
  示していただけないでしょうか。

A 回答 (2件)

f(x)=x/√(1 - x^2)でも置換積分を使うけど、三角関数は使わない。



t^2=1-x^2とすると、積分範囲は0~1/2から1~3/4に変わる。
2t(dt/dx)=2x
t dt= x dx

∫[0, 1/2] x/√(1 - x^2) dx
=∫[0, 1/2] (1/√(1 - x^2)) x dx

0≦x≦1/2の範囲では √(1 - x^2)>0 より、

=∫[1, 3/4] (1/t) t dt
=∫[1, 3/4] 1 dt
=∫[3/4, 1] -1 dt
=-t [3/4, 1]
=-1/4
    • good
    • 1

この場合は√の中身をtに置き換えるという基本の「き」で解けるから簡単なのです


1-x²=tとおくと
-2xdx=dt
∫x/√(1-x²)dx=(-1/2)∫-2x/√(1-x²)dx
=∫dt/√t
=2√t+C
=2√(1-x²)+C
    • good
    • 1

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング