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先日の微分が解けなかったのはつまるところ
 以下の 1/(x-1) + 1/(x+1) の微分をしっかり理解していないためと
と解りました。そこで今一度 1/(x-1) + 1/(x+1) の解法をお教えください。

A 回答 (5件)

合成関数の微分


1/(x-1)=(x-1)⁻¹、でx-1をtと置けば、
{1/(x-1)}'=(t⁻¹)'・(x-1)'=-1・t⁻²・1=-(x-1)⁻²=-1/(x-1)²

同じ様に、{1/(x+1)}'=-1/(x+1)²

微分演算は線形だから
全体の微分=各々を個別に微分して結果を足す
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この回答へのお礼

恥ずかしながら、---全体の微分=各々を個別に微分して結果を足す---このこと知りませんでした。ただなんとくなくそう言う計算でもいいのではと思っていましたが。回答ありがとうございました。これからもご指導ください。最後に「微分演算は線形だから」と言う所をもう少し詳しく。線形、以外に言葉としてはあるのですが?

お礼日時:2020/09/22 20:05

> 最後に「微分演算は線形だから」と言う所をもう少し詳しく。



{ f(x) + g(x) }’ = f’(x) + g’(x) だよ。
{ ax^2 + bx + c }’ = { ax^2 }’ + { bx }’ + { c }’ = 2ax + b + 0
と同じでしょ。
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この回答へのお礼

解りました。演算する前に (関数 f を) 定数倍しても演算した後に 定数倍しても同じ、また演算する前に (関数 f1 と f2 の) 和をとっても演算した後に 和をとっても同じ、というような演算が成り立つとき線形性があると言う事ですね。一次関数の原点を通る式や微分の計算とかが線形性があるということが解りました。ありがとうございました。、

お礼日時:2020/09/22 22:14

ちなみに 通分すると



y=1/(x-1) + 1/(x+1)=2x/{(x-1)(x+1)}=2x/(x²-1)
商の微分公式で
y'={(2x)'(x²-1)-2x(x²-1)'}/(x²-1)²
={(2x)'(x²-1)-2x(x²-1)'}/(x²-1)²
={2(x²-1)-2x(2x)}/(x²-1)²
=(-2x²-2)/(x²-1)²
=-2(x²+1)/(x²-1)²

当然ながら、#2に示した解法での答えと一致します
-1/(x-1)²-1/(x+1)²
={-(x+1)²-(x-1)²}/{(x-1)²(x+1)²}
=(-2x²-2)/(x²-1)²
=-2(x²+1)/(x²-1)²
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この回答へのお礼

早速の回答をいつもありがとうございます。しっかり確認して理解したように思いますが (笑)

お礼日時:2020/09/22 19:59

公式さえ押さえておけば難しくないです。



1/(x-1) + 1/(x+1) ← べき乗に直す
=(x-1)^-1 + (x+1)^-1 ← べき乗の微分公式と合成関数の微分公式を使う
=- (x-1)^-2 - (x+1)^-2 ← 符号の変化に注意する
=- 1/((x-1)^2) - 1/((x+1)^2) ← この答えでも良い

べき乗の微分公式 f(x)=ax^n f’(x)=anx^(n-1)
合成関数の微分公式 {f(g(x))}’=f’(g(x))・g’(x)
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この回答へのお礼

回答をありがとうございます。赤点老人ですが、べき乗の微分公式は解っていましたが計算途中で誤りが多いようです。これからもご指導よろしくお願いします。

お礼日時:2020/09/22 19:59

それぞれ商の微分公式にかけるか



1/(x-1) + 1/(x+1)=(x-1)⁻¹+(x+1)⁻¹として微分するか

通分して商の微分公式りようか

いずれでもよいです

真ん中の方法なら

{1/(x-1) + 1/(x+1)}'={(x-1)⁻¹+(x+1)⁻¹}'
={(x-1)⁻¹}'+{(x+1)⁻¹}'…①
=-(x-1)⁻²・(x-1)'-(x+1)⁻²・(x+1)'
=-1/(x-1)²-1/(x+1)²

なお、①の微分がわからない場合は
y=1/(x-1)
t=x-1とおいて
y=1/t だから
dy/dt=(1/t)'=-1/t²
dt/dx=(x-1)'=1なので
{(x-1)⁻¹}'=dy/dx
=(dy/dt)(dt/dx)
=(-1/t²)・1
=-1/(x-1)²
とすればよいです

1/(x+1)についても同様です
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この回答へのお礼

回答をいつも、いつもありがとうございます。自分も同じように何度もやったのですが答えが違ってしまって----つまらぬミスが途中で出ることが多いようです。

お礼日時:2020/09/22 20:02

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