馬鹿っぽい質問ですみません。

フーリエ級数についてなのですが、級数を求める式はわかるのですが、実際に周期関数から当てはめて考えるときに頭が混乱してしまいます。

例えば、f(x)=x [-π < x < π]があるとき、奇関数なので
2/T(∫f(x)sin(nωt)dt に当てはめればいいと思うのですが・・・f(x)が連続してないと途端に混乱します。

初歩的で申し訳ないのですが、方法を教えていただけませんか?
また、初心者向けの解説サイトがあれば教えていただけたらと思います。

A 回答 (3件)

質問の意図がもうひとつよく分からないのですが,


f(x) が連続関数でないとわからなくなる,ということでしょうか.

[-π,π] の範囲を考えるとして
f(x) のフーリエ級数は
(1)  f(x) ~ (a_0/2) + a_1 cos x + a_2 cos 2x + ...
             + b_1 sin x + b_2 sin 2x + ...

(=でなく~になっているのは,右辺が収束しない場合もあるし,
収束しても f(x) にならない場合もあるからです)
(2)  a_n = (1/π) ∫_{-π}^π f(x) cos nx dx
(3)  b_n = (1/π) ∫_{-π}^π f(x) sin nx dx
ですね.
pythian さんの 2/T(∫f(x)sin(nωt)dt は少し記号が混乱しているようです.

さて,f(x) が f(x) = x ならわかるが,たとえば
(4)  f(x) = -x  (-π < x < 0)
        x  (0 < x < π)
だとわからないということですか?

(4)は偶関数ですから,b_n は全部ゼロです.
a_n の方は積分を分ければOKです.
(5)  a_n = (1/π) [ ∫_{-π}^0 (-x) cos nx dx + ∫_0^π x cos nx dx ]
関数形が変わったら,そこで積分を分けて計算すればOKです.
積分で面積を求めるときもそうしていますよね.

この回答への補足

丁寧なお答えありがとうございます。
なるほど、普通に積分の区間を分けるだけでいいんですね。
一つ確認したいのですが、フーリエ級数とはAnとBnを指すのでしょうか。それで、隅関数のときはAn、奇関数のときはBnを出せば良いんですよね?(^_^;?

補足日時:2001/08/17 15:43
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この回答へのお礼

わっ、すみません。(1)全体がフーリエ級数なんですね。失礼いたしました。

お礼日時:2001/08/17 16:08

siegmund です.



> 隅関数のときはAn、奇関数のときはBnを出せば良いんですよね?(^_^;?

その通りです(「隅」でなくて「偶」ですね.)

お気づきのようですが,(1)がフーリエ級数,
a_n や b_n はフーリエ係数ですね.
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この回答へのお礼

完璧に理解できました。大学院の入学試験で、どうしてもフーリエの問題を選択したかったもので・・・。お陰様で自信がつきました。ありがとうございました。(^-^)

お礼日時:2001/08/18 23:06

今自分もフーリエ級数について勉強していますが、あまり深く考えないほうが良い


と思います。とりあえず、f(x)が奇関数であるか、偶関数であるかをかんがえます。f(x)が、連続,不連続に関わらず、定義として、原点対称であれば奇関数、y軸に線対称であれば偶関数である。
例えば、明らかに不連続な次のような関数
f(x)=1/2 (|x|<=π/2),=-1/2(π/2<|x|<=π)
は、偶関数である。
(分かりにくかったら、図に書いてみてください。)

このぐらいしか言えませんが、お役にたてれば幸いです.
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Q微分方程式をフーリエ級数で解く

y’+y=xのような微分方程式もフーリエ級数を使えば解くことができますか?
できたら、その詳細を教えていただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

これはフーリエ級数を使って解くことができますね。でも、どんな微分方程式でも無制限に解けるわけではありません。連続性や収束性などの込み入った議論が必要です。このことについては、サイトではなく、専門書を購入して、じっくり学ぶ必要があります。

y’+y=xを解くだけなら、無理してフーリエ級数を使う必要もありませんね。しかし、強いてフーリエ級数を使うとなれば、解をy=Σ{a_kSsin(kx)+b_kCos(kx)}と仮定してa_kとb_kを求めればよいわけです。基本的な考え方はべき級数解法と同じです。しかし、a_kとb_kを求めるのに三角関数の直交性を使う必要があります。

Aベストアンサー

cosの逆関数は、三角関数や多項式などの組み合わせでは表せません。(cos自身が多項式では書けないのと同じような事情ですね。)それで
y = cos x の逆関数を
x = Arccos y
とか
x = Arccos(y)
と書き、Arccosは「アークコサイン」と読みます。
 また、cosの右肩に-1を乗せて
x = cos^(-1) y
のように書く流儀もあります(回答No.1はこの流儀ですね)が、これは1/cos(y)とは違うものですから、間違えないように注意する必要があります。プログラミング言語ではacos, ACOSなどと書くものもあります。


 ところで、 y = cos(x)の逆関数ってのは、y = cos(x)のグラフを縦軸・横軸を入れ替えて眺めたものに他なりませんよね。このグラフで例えば「cos(x)=0になるようなx」を求めると、x=±π/2, ±3π/2, ±5π/2, …のように、いっぱい答が出てしまうことになります。どの答をxとして採用しても確かにcos(x)は0になる。
でも、これじゃ、厳密な意味での関数とは言えません。関数ってのは、答が高々1個しか出ちゃいけないからです。そこで、答の候補を0≦x≦πの範囲に限ってしまい、答が一通りに決まるようにします。この限定を付けたのがArccosであり、すなわちArccosは-1≦y≦1から0≦x≦πへの1:1の対応(つまり全射であり、かつ単射である対応)を与えるから、確かに関数です。

 ついでながら、先頭のAを小文字にした
x = arccos(y)
という記号は、(関数ではなくて)「y=cos(x)の逆写像」という意味で使います。すなわち
arccos(y) = {x | ∃n( n∈N ∧ |x| = Arccos(y)+nπ} (ここにN={0,1,2,...}は自然数の集合)
ということです。(でもArccosとarccosをはっきり区別しないで使う人もいますから要注意です。)

cosの逆関数は、三角関数や多項式などの組み合わせでは表せません。(cos自身が多項式では書けないのと同じような事情ですね。)それで
y = cos x の逆関数を
x = Arccos y
とか
x = Arccos(y)
と書き、Arccosは「アークコサイン」と読みます。
 また、cosの右肩に-1を乗せて
x = cos^(-1) y
のように書く流儀もあります(回答No.1はこの流儀ですね)が、これは1/cos(y)とは違うものですから、間違えないように注意する必要があります。プログラミング言語ではacos, ACOSなどと書くものもあります。

...
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Q二階偏微分方程式

今、偏微分方程式の勉強をしているのですが、なかなか頭に入りません。二階偏微分方程式(たとえば拡散方程式や波動方程式)の解法として、変数分離法やフーリエ級数展開などがありますが、ほかにどのようなものがあるでしょうか。またどのような場合にどの解法を採用すべきかということに関する助言もお願いします。どうかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

回答が大変遅くなってしまい申し訳ありません。
積分因数は,かけることで方程式を完全微分形に変形できるような因数です。

詳しくは,たとえば下記のサイトなどをご覧下さい。

積分因数について:
http://bowie.mech.nagasaki-u.ac.jp/~sai/Math/TeXT/node24.html

一般的な解法:
http://bowie.mech.nagasaki-u.ac.jp/~sai/Math/TeXT/node1.html

Qfが[-π,π]で偶関数の時,fのフーリエ級数はf~a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)

こんにちは。下記の問題でつまづいてます。

[問] f∈R[-π,π](R[π,-π]は[π,-π]でリーマン積分可能な関数の集合)とする。
(1) もし,fが[-π,π]で偶関数の時,fのフーリエ級数は
f~a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx,n=1,2,…)
(2) もし,fが[-π,π]で奇関数の時,fのフーリエ級数は
f~Σ[n=1..∞]b_nsin(nx) (但し,b_n=2/π∫[0..π]f(x)sin(nx)dx,n=1,2,…)

[解]
f(x)はf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞](a_ncos(nx)+b_ksin(kx))と表せ。
b_k=1/π∫[-π..π]f(x)sin(kx)dx=1/π∫[-π..π]f(-x)sindx
偶関数の定義からf(x)=f(-x)を使って,
このb_kの値が0となる事を言いたいのですがこれからどのように変形できますでしょうか?

Aベストアンサー

  g(x) = f(x)*sin(x)
と置くと、
f(x)=f(-x)ならば、
  g(x) = f(x)*sin(x) = -f(-x)*sin(-x) = -g(-x)
すなわち、fが偶関数ならばgは奇関数。
よって
  ∫[-π,π]{g(x)} = 0

Q複素フーリエ級数を求めよ、と

複素フーリエ級数を求めよ、と
複素フーリエ級数展開を求めよ の違いが最近分からなくなりました。

f(x) = ○○ と与えれた場合、(例えば sinx)
それを

Cn = C0 + Σ △△ の形に変形するのが
複素フーリエ級数を求めた形になるのでしょうか?

ならば複素フーリエ級数展開は…?とこんがらがっています。
どなたか教えてください。

Aベストアンサー

周期関数f(x)(基本周期T)が与えられたとき
f(x)=Σ[n=-∞→∞] C[n]e^(inx/T) …(1)
ただし、C[n]=(1/T)∫[0→T]f(t)e^(-inx/T)dx
の級数形式にf(x)を変換することを複素フーリエ級数展開といい、
(1)の右辺の展開された級数の形式を複素フーリエ級数(または複素級数展開式)という。式の中の[n]は下付き文字を表すものとします。

はっきり区別して使わない場合もありますが、
級数の形式を単に(一般的に)級数と呼び、
関数f(x)を級数の形の式に変換(展開)することを級数展開と呼び、
f(x)を展開した級数の形の式を級数展開式と呼んで、
展開前のf(x)と区別します。
まえに「複素フーリエ」とつければ、複素フーリエ級数とか、複素フーリエ級数展開式となりますね。
この呼称のを式を取り除いて、複素フーリエ級数展開を両方の意味で使っている場合も見られます。

Q[0,π)でf(x)=x^2のフーリエ正弦余弦級数を求め方は?

[0,π)でf(x)=x^2のフーリエ正弦余弦級数を求めよ。
という問題です。
[解]
これの周期はL=π/2でf(x)は奇関数でも偶関数でもないので
f(x)=a_0/2+Σ[k1..∞](a_kcons(kπ/L)+b_ksin(kπ/L)x)…(1)
(i) a_0について
a_0=1/L∫[-L..L]f(x)cos(kπ/L)dx=1/(π/2)∫[-π/2..π/2]x^2cos(0・π/π/2x)dx=2/π∫[-π/2..π/2]x^2dx
=2/π[x^3/3]^(π/2)_(-π/2)=π^2/6
(ii) a_kについて
a_k=1/L∫[L..-L]f(x)cos(kπ/Lx)dx=2/π∫[-π/2..π/2]x^2cos(2kx)dx=2/π[x/(2k)sin(2kx)+1/(4k^2)cos(2kx)]^(π/2)_(-π/2)=2/π(π/2/(2k)・0+1/(4k^2)・(-1)^k-(-π/2)/(2k)・0-1/(4k^2)・(-1)^k)=0
(iii) b_k (k=1,2,3,…)について
b_k=1/L∫[-L..L]f(x)sin(kπ/Lx)dx=2/π∫[-π/2..π/2]x^2sin(kπx/(π/2)dx)=2/π∫[-π/2..π/2]x^2sin(k/2)xdx
=-4/(kπ)[x^2cos(k/2)x-2x^2/ksin(kx/2)-2cos(kx/2)]^(π/2)_(-π/2)
=4/(kπ)(x^2(1/√)^k-π^2/(2k)(1/√2)^k-2(1/√2)^k-x^2(1/√2)^k-π^2/(2k)(-1/√2)^k-2(1/√2)^k)
=-4/(kπ)(2x^2(1/√2)^k-4(1/√2)^k-π^2/(2k)(1/√2)^k-π^2/(2k)(-1/√2)^k)

で(i),(ii),(iii)を(1)に代入して
f(x)=π^2/12+Σ[k=1..∞]{-4/(kπ)(2x^2(1/√2)^k-4(1/√2)^k-π^2/(2k)(1/√2)^k-π^2/(2k)(-1/√2)^k)}sin(kx/2)

となったのですがこのやり方で正しいでしょうか?

[0,π)でf(x)=x^2のフーリエ正弦余弦級数を求めよ。
という問題です。
[解]
これの周期はL=π/2でf(x)は奇関数でも偶関数でもないので
f(x)=a_0/2+Σ[k1..∞](a_kcons(kπ/L)+b_ksin(kπ/L)x)…(1)
(i) a_0について
a_0=1/L∫[-L..L]f(x)cos(kπ/L)dx=1/(π/2)∫[-π/2..π/2]x^2cos(0・π/π/2x)dx=2/π∫[-π/2..π/2]x^2dx
=2/π[x^3/3]^(π/2)_(-π/2)=π^2/6
(ii) a_kについて
a_k=1/L∫[L..-L]f(x)cos(kπ/Lx)dx=2/π∫[-π/2..π/2]x^2cos(2kx)dx=2/π[x/(2k)sin(2kx)+1/(4k^2)cos(2kx)]^(π/2)_(-π/2)=2/π(π/2/(2k)・0+1/(4k^2)...続きを読む

Aベストアンサー

>[0,π)でf(x)=x^2のフーリエ正弦余弦級数を求めよ。
>[解]
>これの周期はL=π/2で
周期はL=πだと思いますが違いますか?

L=πとすれば
>f(x)=a_0/2+Σ[k1..∞](a_kcons(kπ/L)+b_ksin(kπ/L)x)…(1)
ではなくて
f(x)=a_0/2+Σ[k=1,∞]{a_k*cos(2kx)+b_k*sin(2kx)}…(1)'
となります。

>(i) a_0について
>a_0=1/L∫[-L..L]f(x)cos(kπ/L)dx=(π^2)/6
は間違いです。
a_0=(1/π)∫[0,π] f(x)dx=(1/π)∫[0,π] x^2dx=(π^2)/3

>(ii) a_kについて
>a_k=1/L∫[L..-L]f(x)cos(kπ/Lx)dx=0
は間違いです。
a_k=(1/π)∫[0,π] (x^2)cos(2kx)dx=1/(2k^2)

>(iii) b_k (k=1,2,3,…)について
>b_k=1/L∫[-L..L]f(x)sin(kπ/Lx)dx
>=-4/(kπ)(2x^2(1/√2)^k-4(1/√2)^k-π^2/(2k)(1/√2)^k-π^2/(2k)(-1/√2)^k)
も間違いです。
b_k=(1/π)∫[0,π] (x^2)sin(2kx)dx=-π/(2k)

後は(1)'に代入すればよい。

間違いだらけです。

>[0,π)でf(x)=x^2のフーリエ正弦余弦級数を求めよ。
>[解]
>これの周期はL=π/2で
周期はL=πだと思いますが違いますか?

L=πとすれば
>f(x)=a_0/2+Σ[k1..∞](a_kcons(kπ/L)+b_ksin(kπ/L)x)…(1)
ではなくて
f(x)=a_0/2+Σ[k=1,∞]{a_k*cos(2kx)+b_k*sin(2kx)}…(1)'
となります。

>(i) a_0について
>a_0=1/L∫[-L..L]f(x)cos(kπ/L)dx=(π^2)/6
は間違いです。
a_0=(1/π)∫[0,π] f(x)dx=(1/π)∫[0,π] x^2dx=(π^2)/3

>(ii) a_kについて
>a_k=1/L∫[L..-L]f(x)cos(kπ/Lx)dx=0
は間違いです。
a_k=(1/π...続きを読む

Qフーリエ級数とフーリエ変換

大学の試験で問題が発表されて、そのうちの一つに
「フーリエ変換とはどういうものか述べよ」というのがありました。
そこで疑問に思ったのですが、フーリエ級数とフーリエ変換の違いって何ですか?
自分なりに調べてみて、

・フーリエ級数は、任意の関数がある区間で、三角関数の足し合わせで表現したもの。
・フーリエ変換は、フーリエ級数展開の周期を無限大まで飛ばしたもの。こうすることで、元の関数との誤差が0になる。

これって正しいですか?(数学の試験ではないので、難しい数式とかで証明する必要はありません)

Aベストアンサー

似たような用語で「フーリエ展開」も有ります。
フーリエ変換とかフーリエ展開は、歪んだ波からフーリエ級数を求める事を言います。つまり、フーリエ変換やフーリエ展開は操作(動詞or動名詞)、フーリエ級数はその結果を言うわけです。

一方、工学の世界では、複雑な波を、周波数別に分離する手段としてフーリエを使います。どちらかと言うと位相は気にせずに周波数とその強さだけを気にします。
このときも、フーリエ変換とかフーリエ展開といっていると思います。
よく、アンプの特性グラフなどで、縦軸:振幅、横軸:周波数と言うのを見ます。
波の分析で「スペクトラムアナライザ」というのを使いますが、これなど、まさに周波数とその強さだけを、ブラウン管上に表示するものです。

Q数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数はa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交
[(2)の解]
この関数の周期はL=π/2なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入して,
a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx
は上手くいったのですが
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxに変形できません。
どのようにして変形するのでしょうか?

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1...続きを読む

Aベストアンサー

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?
質問の文に
『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。』
とあったのでf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)と表せる前提で話をして良いのかなと思ったのです。
また、f∈R[0,π]の関数を周期[-π,π]で展開することも可能なので一概に周期[0,π]とも言えないと思うのです。
(ただし、その場合にも偶関数として展開、奇関数として展開などの適当な前提は要りますが)


どうやら私が質問や問題の内容を推測して回答してしまったのがよくなかったようですね。
今回は補足要求と言うことにしておきます。

・今回の問題(2)の題意は
  fがa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)で書けることを示すことですか?
それとも
  f(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)とするとa_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxとなることを示すことですか?

・『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数』とはこの場合どういう意味でしょう?把握してらっしゃいますか?

・fを展開する際の周期ですが本当に[0,π]ですか?
[0,π]ではcos(nx)とsin(mx)が直交しないですし、
f(x)=Σ{b_n*sin(nx)}と奇関数として展開するしか出来ない気がするんですが。

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでし...続きを読む

Qフーリエ級数

 私は、現在フーリエ級数について学習中ですが、現在ではのこぎり波(三角波)を用いたフーリエ級数の求め方に悪戦苦闘しています。この場合は短形波を用いたフーリエ級数と同じようにフーリエ係数(An, Bn)を使って解くのでしょうか?
説明不足かもしれませんが、どなたかよろしくお願いします。
ちなみに、参考文献はありますか?

Aベストアンサー

 矩形波では、矩形波を
  f(x)=0 (-π<x<0)
    =1 (0<x<π)
として、フーリエ係数を次のように求めたことと思います。(積分区間はすべて -π→π とします。)
  a0=1/(2π)∫f(x)dx =1/2
  An=1/π ∫f(x)cos(nx)dx=0
  Bn=1/π ∫f(x)sin(nx)dx=2/(nπ) (n:odd), 0 (n:even)
 ∴f(x)=1/2+2/π {sin(x)+(1/3)sin(3x)+(1/5)sin(5x)+・・・)

 のこぎり波でも、定義どおりに同様に求めることができ、こちらの方が奇関数ですから、フーリエ余弦係数が0になりますので、計算が楽にできます。

 のこぎり波の式を
  g(x)=x  (-π<x<π)
とおきますと、フーリエ係数は、
  An=(1/π) ∫x cos(nx)dx=0
  Bn=(1/π) ∫x sin(nx)dx
   =(2/π) ∫x sin(nx)dx   (ここだけ積分区間は 0→π)
   =(-1)^(n+1) 2/n
と求められますので、展開式は次のようになります。
  g(x)=2{ sin(x)-(1/2)sin(2x)+(1/3)sin(3x)-・・・)

 
 フーリエ係数の求め方については、多くのサイトで解説されていますので、「フーリエ級数展開、フーリエ係数」などの用語で検索されるとよいと思います。

 矩形波では、矩形波を
  f(x)=0 (-π<x<0)
    =1 (0<x<π)
として、フーリエ係数を次のように求めたことと思います。(積分区間はすべて -π→π とします。)
  a0=1/(2π)∫f(x)dx =1/2
  An=1/π ∫f(x)cos(nx)dx=0
  Bn=1/π ∫f(x)sin(nx)dx=2/(nπ) (n:odd), 0 (n:even)
 ∴f(x)=1/2+2/π {sin(x)+(1/3)sin(3x)+(1/5)sin(5x)+・・・)

 のこぎり波でも、定義どおりに同様に求めることができ、こちらの方が奇関数ですから、フーリエ余弦係数が0になりますので、...続きを読む

Q関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。

関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

という問題で、

1)pのとりうる値の範囲を求めよ。 A. p<0,2<p
2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^

まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

という問題がどうしても解けません。
どなたかご教授下さい。お願いします。

Aベストアンサー

中点の軌跡の座標を (X , Y) とすると、
X = ( α + β ) / 2
Y = ( f(α) + f(β) ) / 2

α + β = - p
f(α) + f(β) = 問 2)より、

上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。
また、問 1) の p の範囲から、x の範囲も考慮する必要があります。


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