数列の特性方程式について

数列で、二項間の漸化式で、a_(n+1)=α a_n＋β
のときは、a_(n+1)=a_n=x　とかおいて、x=α ｘ+β
を解けば、等比数列にすることでができますが、
3項間の場合、a_(n+2)=α a_(n+1)＋β a_n
の場合はｘ^２＝α x＋β　を解きます。

何故なんでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/09/24 03:32

どちらも「等比数列を導く」操作ではあるけど

・前者では定数項を消すために不動点を求める
・後者では定数係数の線形漸化式なので (最終的に) 線形結合を作るための「等比数列」を求める
と違う操作をしている.

さてここで問題.
a_(n+2) = α a_(n+1) + β a_n + γ (ただし α, β, γ は定数)
だったらどうします?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

a_(n+2) － δ a_(n+1)ーγ ＝ζ（a_(n+1) － δ a_nーγ ）
ですか・・・。
なるほど・・・・。

お礼日時：2020/09/24 07:19

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/09/25 00:00

定数項が γ とは限らんけどね.

a_(n+1) = α a_n + f(n)
って形だと「定数変化法」も定法. 加えている f(n) がない
a_(n+1) = α a_n
なら a_n = c α^n (c は定数) になるんだけど, この「定数」 c が n に依存すると思って a_n = c_n α^n っておく. これを代入すると (c_n に関する) 階差数列の形になるよって手法. 階差数列になったからといって閉じ式になるかどうははまた違う話だけど, もとよりはきれいかなぁ.