gooドクター有料プランが1ヶ月間無料!

フーリエ級数はそのグラフが奇関数ならフーリエ正弦級数、偶関数ならフーリエ余弦級数に展開できますよね?
そこでf(x)=x(0<x<π)を満たす各xについて
f(x)=2Σ(k=0~∞){(-1)^k-1/k}sinkx
が成り立つことを証明せよって問題なんですが、
証明する式って言うのは正弦級数展開と同じですよね?
でも、奇関数ではないのにこのように展開できるのはなぜですか?
あと、これをフーリエ級数に展開するっていうのは
↑の正弦級数と余弦級数を単に足せばいいんですか?
いまいちわかっていないので解説おねがいします。

gooドクター

A 回答 (3件)

f(x)=2Σ(k=0~∞){(-1)^k-1/k}sinkx


この関数は、定義域が、実数全体です。
この実数全体で定義された関数の一部分
すなわち、(0<x<π)
に制限した部分が
f(x)=x(0<x<π)
のグラフと一致している。

ということです。

また、
f(x)=x(0<x<π)
は、
(場合1)
関数f(x)=x(-π<x<π)
の一部と見ることも出来るし、

あるいは、
(場合2)
f(x)=-x(-π<x<0)
f(0)=0
f(x)=x(0<x<π)

の一部と見ることも出来る。

 従って、それぞれ周期的に拡張して考えることにすれば、
奇関数をフーリエ展開したものを(区間0<x<π)
で考えたものとして等式の成立を主張することも出来るし、

偶感数をフーリエ展開したものを区間0<x<π
で考えたものとして、別の等式の成立を主張する
こともできます。

したがって、
1.関数を拡張する。
2.拡張の仕方で偶関数にも、奇関数にもなる
3.それぞれの場合でフーリエ展開する。
4.定義域を制限してその区間で等しいと主張する

となります。
追加が必要なら言ってください。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。
区間が小さければ偶関数にも奇関数にもなりうるってことですね。
丁寧な説明ありがとうございました。

お礼日時:2005/01/29 23:34

-π<x<0の範囲でのf(x)が指定されてないでしょうか


f(x)を奇関数として展開するのなら
  f(x)=x (-π<x<π)
と同じですし

f(x)を偶関数として展開するのなら
  f(x)=-x (-π<x<0),x (0<=x<π)
と同じです

どちらの場合でも奇関数と偶関数の積分の公式が使えます

f(x)が奇関数ならば
∫[-a,a]f(x)dx=0
f(x)が偶関数ならば
∫[-a,a]f(x)dx=2∫[0,a]f(x)dx

この回答への補足

0<x<πしか指定されていません。

>どちらの場合でも奇関数と偶関数の積分の公式が使えます
>f(x)が奇関数ならば
>∫[-a,a]f(x)dx=0
>f(x)が偶関数ならば
>∫[-a,a]f(x)dx=2∫[0,a]f(x)dx
はい。それは高校で習ってるので十分わかっております。
僕が聞きたいのは奇関数でない与式がなぜフーリエ正弦級数に展開できるのかってことなんです・・・。
それとも問題自体がおかしいんですかねぇ・・・?
よろしくおねがいします。

補足日時:2005/01/29 12:50
    • good
    • 0

f(x)=x (-π<x<π)


ならどうですか?フーリエ正弦級数展開できますよね、奇関数だから。
これを0<x<πに制限して考えればいいんです。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
制限するとはどういうことかいまいちわかりません・・・。
積分区間をO~πにすることでしょうか??(1/πにして)
でもそれなら求めたい式の半分の値になってしまうし・・・
もう少しヒントください。

補足日時:2005/01/29 12:05
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング