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0≦x≦1のとき1≦sinx+cosx≦√2

これって証明できますか?

A 回答 (3件)

sin(x) + cos(x)


= √2 [(1/√2)sin(x) + (1/√2)cos(x)]
= √2 [cos(パイ/4)sin(x) + sin(パイ/4)cos(x)]
= √2 sin(x + パイ/4)      ①
と書けることはよいかな?

0≦x≦1のとき
 パイ/4 ≦ x + パイ/4 ≦ 1 + パイ/4   ②
であり、
 パイ ≒ 3.14
なので
 (1/4)パイ < 1 < パイ/3
ということがわかります。
従って、②の上限は
 (1/2)パイ < 1 + パイ/4 < (3/4)パイ
だということになります。

この範囲で①は
・x + パイ/4 = (1/2)パイ のとき最大値 √2
・x + パイ/4 = (1/4)パイ のとき最小値 1
になることは分かりますか?
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簡単だけど


#1のようにやると間違いだよ(結論をスタート地点にして話を展開してしまっているから )
また、2乗で証明するのもけど
0<A<B ⇔ 0<A²<B²
など、きっちり述べないといけないことがある
だから、精通していない人には減点のない正確な答案つくりは結構しんどいかも

そこで、sinx+cosx=√2sin(x+π/4)と変形していくほうが
減点されない答案は作りやすいのかも

続き知りたいですか?
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2乗して1≦(sinx+cosx)²≦2


1≦(1+2sinxcosx)²≦2
1≦(1+sin2x)²≦2
x=0の時(1+sin2x)²は最小1
x=π/8の時最大で(1+sin2x)²は4
0≦x≦1のとき1≦sinx+cosx≦2です。
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