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2変数関数f(x,y)=sin^-1(2x+y)の0=(0,0)における3次のテイラー多項式を求めよ。(剰余項は不要)
解)二項級数などを使って
1/√(1-x)=1+ x/2 + O(x²)
を求める。xをx²で置き換えて
1/√(1-x²)=1+ x²/2 + O(x⁴)
両辺を積分すると
sin⁻¹x = x + x³/6 + …
xを 2x+y で置き換える
sin⁻¹(2x+y) = (2x+y) + (2x+y)³/6

となるらしいのですが、これは合っているでしょうか?途中式が省かれているので合っているのか分かりません。理解できる方教えてくださると助かります。

A 回答 (2件)

x⁴を積分するとx⁵/5だから、O(x⁵)と考えるのが普通だ・・・・が、


O記号が積分できるか知らない。

それよりも素直に計算すればよい。
f(x,y)=f(0,0)+(x∂/∂x+y∂/∂y)f(0,0)+(1/2)(x∂/∂x+y∂/∂y)²f(0,0)
+(1/6)(x∂/∂x+y∂/∂y)³f(0,0)・・・・・①

f(x,y)=sin⁻¹(2x+y)においてu=2x+y, g(u)=sin⁻¹u とすれば
f(x,y)=g(2x+y)=g(u) となる。すると (x,y)=(0,0) → u=0 だから

∂f/∂x=g'(u)∂u/∂x=2g'(u)
∂f/∂y=g'(u)∂u/∂y=g'(u)
∂²f/∂x²=(∂/∂x)2g'(u)=2g''(u)(∂u/∂x)=4g''(u)
∂²f/∂y²=(∂/∂y)g'(u)=g''(u)(∂u/∂y)=g''(u)
∂²f/∂x∂y=(∂/∂y)2g'(u)=2g''(u)(∂u/∂y)=2g''(u)

したがって、証明は端折るが帰納法から
(∂/∂x)ⁿf=2ⁿg⁽ⁿ⁾(u)
(∂/∂y)ⁿf=g⁽ⁿ⁾(u)
(∂/∂x)ⁿ(∂/∂x)^m f=2ⁿg^(n+m)(u)
となる。

したがって、
(x∂/∂x+y∂/∂y)ⁿf(0,0)=(2x+y)ⁿg⁽ⁿ⁾(0)=uⁿg⁽ⁿ⁾(0)
を得る。

したがって①は
f(x,y)=g(u)=g(0)+ug'(0)+(u²/2)g''(0)+(u³/6)g'''(0)
とできる。あとは

g(0)=0
g'(0)={1/√(1-u²)}(u=0)=1
g''(0)={u/(1-u²)³/²}(u=0)=0
g'''(0)={1/(1-u²)³/²+3u²/(1-u²)⁵/²}(u=0)=1
を使えばよい。
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計算した式は正しいが...


O(x⁴) を積分すると O(x³) になるから、
sin⁻¹ x = x + x³/6 + … は
… の部分に x³ オーダーの誤差を含む。
このため、
sin⁻¹ (2x+y) = (2x+y) + (2x+y)³/6 + … は
3次ではなく 2次の近似にしかなっていない。
+ (2x+y)³/6 という項は、誤差に呑み込まれるので
書くだけ無駄。
(剰余項は不要)と言われても、答えの直前まで
O( ) をつけた式で計算すれば、そのことが判ったはず。
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