sqrt(x) = - i

方程式
sqrt(x) = - i
の解き方を教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• sqrt(-1) = i
  なのでx = -1 は解ではないと思うのですが、どうでしょうか。

    補足日時：2020/09/27 16:56

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/27 19:38

>sqrt(-1) = i

>なのでx = -1 は解ではないと思うのですが、どうでしょうか。

どういう言葉が適切かは難しいが、自分の解釈としては、「変数の平方根の表現の限界」からきていると考えている。

例えば、√x=-2を満たすxは、x=4であることは、すぐイメージできると思う。
√4=2であることも理解できると思う。
しかし、平方根で-2をどう表現するかというと、-√4=-2という表現になるが、√x=-2という表現とは合わないことになる。

では、「√x=-2をみたす解は存在しないのか？」と問われたら「存在する」という答えになる。
けど、√x=-2に数字をいれて表現することはできない。
これが、「変数の平方根の表現の限界」の意味。

イメージしやすくするため、実数で説明したが、虚数、複素数でも同じことがいえる。
今回の質問に戻ると、√x=-iの解がx=-1であることは間違ってはいない。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/09/27 19:13

sqrt(x) = i　の解も x=-1 です。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/27 16:34

√x=-i

両辺を2乗すると、
x=(-i)^2=(-1)^2 × i^2=-1

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/09/27 16:15

x=re^iθとおく

すると
√r e^(iθ/2)=-i → √r{cos(θ/2)+isin(θ/2)}=-i
すると
cos(θ/2)=0 → θ/2=±π/2 → θ=±π・・・・・①
すると
(√r)sin(θ/2)=-1 → (√r)(±1)=-1 → (√r)=∓1 → √r=1 → r=1
さらに、①において、θ=-πのみ。

ゆえに
x=e^i(-π)=-1