arctanxをf(x)とし、そのn回微分f^(n)(x)をf^(n-1)(x)などの式の漸化式で表

arctanxをf(x)とし、そのn回微分f^(n)(x)をf^(n-1)(x)などの式の漸化式で表せ。そして、f^(n)(0)をf^(n-1)(0)などの漸化式で表せ。
という問題の解き方が分かりません。教えてください。

自分でライプニッツの公式などを使って画像のようにやってみたのですが、f^(n)(0)が0になってしまったので多分違うと思うので正解の解き方を教えてください。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/04 04:18

＞ f^(n+1)(0) = -n(n-1) f^(n-1)(0) となると思ったのですが違いますか…？？

あ、ホントだ。 x = 0 を代入すると、f^(n+1)(0) = -n(n-1) f^(n-1)(0).
他人の間違いは判るんですね。ある意味すごいというか。
そこは修正して、計算の続きをしてください。
似たような計算なります。

＞ f^(n)(x)の分母が2nxなのでx=0を代入すると0になってしまうと思ったのですが……

そのとおり。 分母が 0 になってしまうので代入できず、
右辺が = 0 にはなりません。 1/0 が 0 だとでも思った？
この事態を避けるために、
f^(n)(x) = ... でなく
f^(n+1)(x) = ... に変形します。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/03 23:55

ライプニッツ公式で導いた式を、

f^(n)(x) = ... よりも
f^(n+1)(x) = ... に変形したほうがいいんじゃないの？
そこへ x = 0 を代入すると、
f^(n+1)(0) = -n(n+1) f^(n-1)(0) になる。
両辺を (n+1)！ で割れば
f^(n+1)(0)/(n+1)！ = - f^(n-1)(0)/(n-1)！ だから、
n が偶数のとき f^(n)(0)/n！ = (-1)^(n/2) ・ f^(0)(0)/0！ = (-1)^(n/2) ・ f(0),
n が奇数のとき f^(n)(0)/n！ = (-1)^((n-1)/2) ・ f^(1)(0)/0！ = (-1)^((n-1)/2) ・ f’(0).
だと判る。
f(0), f’(0) は、素朴に
f(x) = arctan x, f’(x) = 1/(1+x^2) から計算しよう。
f(0) = 0, f’(0) = 1.
よって、
n が偶数のとき f^(n)(0) = 0,
n が奇数のとき f^(n)(0) = (n！) (-1)^((n-1)/2).

写真の計算は、最後の代入を間違っている。
下から 2行目に x = 0 を代入しても、
最下行の式にはならない。

この回答へのお礼

書いていただいた説明の6行目ってf^(n+1)(0)=-n(n-1)f^(n-1)(0)となると思ったのですが違いますか…？？
あと、2行目に0を代入しても最下式にらならないと書いてありますが、なぜが教えて頂きたいです。f^(n)(x)の分母が2nxなのでx=0を代入すると0になってしまうと思ったのですが……

お礼日時：2020/10/04 03:02

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/10/03 18:24

最後から 2つ目の式

f^(n)(x) = ...
が正しいかどうかは確認していないけど, そこから最後の
f^(n)(0) = 0
はどうやってだしたんでしょうか?

この回答へのお礼

自分のf^(n)(x)の式のxのところに0を代入したのですが、その式の分母が2nxなのでxに0を代入すると分母が0になってしまうためf^(n)(0)は0になるというようになってしまいました。しかしf^(1)(x)とかは答えが1なのでf^(n)(x)は0ではないと思うのですが自分はどこで間違えてしまったのか分かりません……

お礼日時：2020/10/04 02:58