(3)で先に漸化式を用いてg(n)を出し、そこからg(n+1)と2g(n)+f(n)を求めて左辺＝右

(3)で先に漸化式を用いてg(n)を出し、そこからg(n+1)と2g(n)+f(n)を求めて左辺＝右辺とするのは間違いでしょうか？？

解答では(2)、(3)の結果を用いて漸化式からg(n)を求めています。

＊(2)答 f(n)＝(n+2)2^(n-1)

丁寧に分かりやすく説明して頂けると嬉しいです！よろしくお願いします

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/05 20:31

もしそれができるなら、論理的には何も間違っていないけど、

f(n) が判る前にどうやって g( ) の漸化式
g(n+1) = 2g(n) + f(n) を解くの？ 無理としか思えない。

(2) で f(n) = (n+2) 2^(n-1) が判っているから、
(3) を示した後
(4) で g(n+1) = 2g(n) + (n+2) 2^(n-1) を解けばよくなる。

両辺を 2^(n+1) で割って
g(n+1)/2^(n+1) = g(n)/2^n + (n+2)/4 となるので、
g(n)/2^n = g(4)/2^4 + ∑[k=4..n-1] (n+2)/4 だと判る。

g(4) は (1) で求めてあるし、
∑[k=4..n-1] (n+2)/4 = { (4+2)/4 + (n-1+2)/4 }{ (n-1) - 4 + 1 }/2
は等差数列の和の公式で出る。

よって、
g(n) = (2^n){ g(4)/16 + (n+7)(n- 4)/8 }.

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/10/03 19:02

f(n)が定数ならともかく、nによって変化するので、f(n)が未定な状態でg(n)の一般項は出せないと思うけど。